Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b].

Phương pháp giải:

Áp dụng khái niệm và các tính chất cơ bản của tích phân:

- Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b] thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x): $\int\limits_a^b {f(x)dx} = F(x)\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{^b}\\{_a}\end{array}} \right. = F(b) - F(a)$.

- Cho các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b], $c \in (a;b)$, k là số thực. Khi đó:

+ $\int\limits_a^b {kf(x)dx} = k\int\limits_a^b {f(x)dx}$;

+ $\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_a^b {g(x)dx}$;

+ $\int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} - \int\limits_a^b {g(x)dx}$;

+ $\int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx}$.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. $\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)$.

b) Đúng. $\int\limits_b^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {F\left( x \right)} \right|_b^a = F\left( a \right) - F\left( b \right)$

$= - \left[ {F\left( b \right) - F\left( a \right)} \right] = - \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x}$.

c) Sai. Với $a \lt c \lt b$ ta có $\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x}$

$\Leftrightarrow \int\limits_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x}$.

Mặt khác $\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - \int\limits_c^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - n$.

Từ đó ta được $\int\limits_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = m - \left( { - n} \right) = m + n$.

d) Sai. $\int\limits_a^b {\left[ {2024f\left( x \right) + 2025} \right]{\rm{d}}x} = 2024\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} + 2025\int\limits_a^b {{\rm{d}}x}$

$= 2024\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \left. {2025x} \right|_a^b = 2024\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} + 2025\left( {b - a} \right)$.