Cho hàm số $y = f(x) = \frac{x^2 + 4x - 1}{x - 1}$ có đồ thị là (C). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Phương pháp giải:

a) Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương.

b)

Bước 1: Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x):

- Tìm tập xác định.

- Tính đạo hàm f’(x) và tìm nghiệm của phương trình f’(x) = 0 hoặc tại đó f’(x) không xác định.

- Tính các giới hạn (nếu có).

Bước 2: Qua điểm x thuộc tập xác định mà f’(x) đổi dấu:

- Dương (+) $\to$ âm (-): cực đại.

- Âm (-) $\to$ dương (+): cực tiểu.

c) Đường thẳng y = ax + b $(a \ne 0)$ gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0$.

d) Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị. Tìm giao điểm của đường thẳng đó với trục Ox, Oy. Áp dụng công thức tính diện tích tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. $y' = \frac{{(2x + 4)(x - 1) - ({x^2} + 4x - 1)}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}}$.

b) Sai. $y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 1\end{array} \right.$

Suy ra hàm số có 2 cực trị.

c) Sai. $y = \frac{{{x^2} + 4x - 1}}{{x - 1}} = x + 5 + \frac{4}{{x - 1}}$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - (x + 5)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{4}{{x - 1}} = 0$ nên đồ thị có tiệm cận xiên là y = x + 5.

Tiệm cận đứng của đồ thị là x = 1.

Thay x = 1 vào y = x + 5, ta được y = 1 + 5 = 6.

Vậy giao điểm hai đường tiệm cận của (C) là (1; 6).

d) Đúng. 2 điểm cực trị của (C) là (-1; 2) và (3; 10).

Giả sử (d): y = ax + b là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị trên.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}2 = a( - 1) + b\\10 = 3a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 4\end{array} \right. \Rightarrow (d):y = 2x + 4$.

Đường thẳng (d) giao Ox tại điểm A(-2; 0) và giao với Oy tại điểm B(0; 4).

${S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.2.4 = 4$.