Cho hàm số $y = f(x) = {e^{x + \sqrt {16 - {x^2}} }}$ .

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm f’(x) của hàm số theo quy tắc đạo hàm hàm số hợp $\left( {{e^u}} \right)' = u'.{e^u}$.

Tìm nghiệm của phương trình f’(x) = 0.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. $f'(x) = \left( {x + \sqrt {16 - {x^2}} } \right)'{e^{x + \sqrt {16 - {x^2}} }} = \left( {1 + \frac{{\left( {16 - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {16 - {x^2}} }}} \right){e^{x + \sqrt {16 - {x^2}} }}$

$= \left( {1 + \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {16 - {x^2}} }}} \right){e^{x + \sqrt {16 - {x^2}} }} = \left( {1 - \frac{x}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}} \right){e^{x + \sqrt {16 - {x^2}} }}$ với $16 - {x^2} \gt 0 \Leftrightarrow - 4 \lt x \lt 4$.

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left( {1 - \frac{x}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}} \right){e^{x + \sqrt {16 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{x}{{\sqrt {16 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {16 - {x^2}} = x\\16 - {x^2} \gt 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \gt 0\\ - 4 \lt x \lt 4\\2{x^2} - 16 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \lt x \lt 4\\2{x^2} - 16 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\sqrt 2$.

Vậy phương trình f’(x) = 0 có một nghiệm.

b) Sai. $f'(x) = \left( {1 - \frac{x}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}} \right){e^{x + \sqrt {16 - {x^2}} }}$ với $x \in ( - 4;4)$.

c) Đúng. $y = f(x)$ liên tục trên đoạn [-4;4]; f’(x) = 0 có một nghiệm $x = 2\sqrt 2$ trên khoảng (-4;4).

$f( - 4) = {e^{ - 4}}$; $f(2\sqrt 2 ) = {e^{4\sqrt 2 }}$; $f(4) = {e^4}$.

Suy ra $\mathop {\min }\limits_{[ - 4;4]} f(x) = f( - 4) = {e^{ - 4}}$; $\mathop {\max }\limits_{[ - 4;4]} f(x) = f(2\sqrt 2 ) = {e^{4\sqrt 2 }}$.

Ta có ${e^{ - 4}}.{e^{4\sqrt 2 }} = {e^{ - 4 + 4\sqrt 2 }} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 4\\b = 4\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow a + 2b + 3c = - 4 + 2.4 + 3.2 = 10$.

d) Đúng. $f( - 4) = {e^{ - 4}} = \frac{1}{{{e^4}}}$.