Cho hàm số y = f(x) = 2x + 3. Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm của hàm số lũy thừa, tính chất của tích phân, ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. $F(x) = \int {f(x)dx} = \int {(2x + 3)dx} = {x^2} + 3x + C$.

Ta có $F(1) = 2 \Leftrightarrow {1^2} + 3.1 + C = 2 \Leftrightarrow C = - 2$.

Vậy $F(x) = {x^2} + 3x - 2$.

b) Đúng. $\int\limits_0^2 {f(x)dx} - \int\limits_5^2 {f(x)dx} + \int\limits_{ - 1}^0 {f(x)dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {f(x)dx} + \int\limits_0^2 {f(x)dx} - \int\limits_5^2 {f(x)dx}$

$= \int\limits_{ - 1}^0 {f(x)dx} + \int\limits_0^2 {f(x)dx} + \int\limits_2^5 {f(x)dx} = \int\limits_{ - 1}^5 {f(x)dx} = F(5) - F( - 1) = 42$.

c) Sai. Với x < -1,5 thì 2x + 3 < 0, suy ra $\left| {2x + 3} \right| = - (2x + 3)$.

Với x > -1,5 thì 2x + 3 > 0, suy ra $\left| {2x + 3} \right| = 2x + 3$.

$S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {2x + 3} \right|dx} = - \int\limits_{ - 2}^{ - 1,5} {(2x + 3)dx} + \int\limits_{ - 1,5}^1 {(2x + 3)dx} = \frac{{13}}{2}$.

d) Sai. Phương trình hoành độ giao điểm:

${x^2} - 2x + 6 = 2x + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.$

$V = \pi \int\limits_1^3 {\left| {{{(2x + 3)}^2} - {{({x^2} - 2x + 6)}^2}} \right|dx} = \frac{{88\pi }}{5}$.