Cho hàm số $y = f(x) = 2{x^3} + 2$ .

Phương pháp giải:

a) Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm ${x_0}$ là $f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$.

b) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ ${x_0}$ là $f'({x_0})$.

c) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ ${x_0}$ là $y = f'({x_0})(x - {x_0}) + {y_0}$.

d) Kiểm tra tích của hai hệ số góc có thể bằng -1 không.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm ${x_0} = 1$ là $f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}$.

b) Đúng. $f'(x) = 6{x^2} \Rightarrow f'(1) = {6.1^2} = 6$.

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ ${x_0} = 1$ là f’(1) = 6.

c) Đúng. Ta có $f(1) = {2.1^3} + 2 = 4$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ ${x_0} = 1$ là:

$y = 6(x - 1) + 4 \Leftrightarrow y = 6x - 2$.

d) Sai. Với ${x_0}$ bất kì, ta có $f'({x_0}) = 6{x_0}^2$.

Gọi A và B là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x). Khi đó:

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A là $f'({x_A}) = 6{x_A}^2$.

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm B là $f'({x_B}) = 6{x_B}^2$.

Để tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau thì $f'({x_A}).f'({x_B}) = - 1 \Leftrightarrow 6{x_A}^2.6{x_B}^2 = - 1$ (vô lí).

Vậy không tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) vuông góc với nhau.