Cho hàm số $y = \dfrac{x^{2} + x + 2}{x + 2}$ có đồ thị $(C)$ . Khi đó:

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm, khảo sát hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Ta có $y = \frac{{x\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right) + 4}}{{x + 2}} = x - 1 + \frac{4}{{x + 2}}$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{4}{{x + 2}} = 0$ nên đường thẳng $y = x - 1$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị .

b) Đúng. $y' = \frac{{{x^2} + 4x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0$ khi x = 0 hoặc x = 4.

Từ bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$. Vì $\left( {3;10} \right) \subset \left( {0; + \infty } \right)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {3;10} \right)$.

c) Sai. Theo bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.

d) Sai. Từ bảng biến thiên, hai điểm cực trị của đồ thị $\left( C \right)$ là $A\left( {0;1} \right)$ và $B\left( { - 4; - 7} \right)$.

Giả sử đường thẳng đi qua hai điểm này có dạng $y = ax + b$.

Thay tọa độ $A$ và $B$ vào ta được hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}1 = a.0 + b\\ - 7 = - 4a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right.$.

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y = 2x + 1$.