Cho hàm số f(x) = sin2x – x.

Phương pháp giải:

a) Thay $- \frac{\pi }{2}$, $\frac{\pi }{2}$ vào x của phương trình rồi tính.

b) Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp lượng giác: (sinu)’ = u’.cosu.

c) Nếu $\cos \alpha = m$ thì $\cos x = m \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.$ $(k \in \mathbb{Z})$.

Dựa vào khoảng hoặc đoạn đề bài cho, tìm các giá trị k thỏa mãn rồi thay vào công thức nghiệm và kết luận.

d) Thay giá trị hai đầu mút của đoạn và các giá trị sao cho f’(x) = 0 vào f(x) và tìm giá trị nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. $f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \sin ( - \pi ) - \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}$ và $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \sin (\pi ) - \frac{\pi }{2} = - \frac{\pi }{2}$.

b) Sai. f’(x) = 2cos2x – 1.

c) Đúng. $2\cos 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.$ $(k \in \mathbb{Z})$.

+) $- \frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \frac{\pi }{2} \le \frac{\pi }{6} + k\pi \le \frac{\pi }{2}$

$\Leftrightarrow - \frac{{2\pi }}{3} \le k\pi \le \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow - \frac{2}{3} \le k \le \frac{1}{3} \Rightarrow k = 0$ (vì $k \in \mathbb{Z}$).

Suy ra $x = \frac{\pi }{6} + 0.\pi = \frac{\pi }{6}$.

+) $- \frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2} \Rightarrow - \frac{\pi }{2} \le - \frac{\pi }{6} + k\pi \le \frac{\pi }{2}$

$\Leftrightarrow - \frac{\pi }{3} \le k\pi \le \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow - \frac{1}{3} \le k \le \frac{2}{3} \Rightarrow k = 0$ (vì $k \in \mathbb{Z}$).

Suy ra $x = - \frac{\pi }{6} + 0.\pi = - \frac{\pi }{6}$.

Vậy trên đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ thì f’(x) = 0 có hai nghiệm là $x = \frac{\pi }{6}$; $x = - \frac{\pi }{6}$.

d) Đúng. f(x) = sin2x – x;

f’(x) = 2cos2x – 1 có nghiệm $x = \pm \frac{\pi }{6} \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$.

$f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}$; $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{\pi }{2}$; $f\left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) - \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{\pi }{6}$; $f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{6}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ là $- \frac{\pi }{2}$.