Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \dfrac{x^{2} + ax + b}{x^{2} - 4} \,\,\,\, {\text{khi}\,\,\,\,x \lt - 2} \\…

Phương pháp giải:

a) Tính giới hạn một phía của hàm số khi $x \to -2^+$.

b) Để hàm số có giới hạn tại $x = -2$, giới hạn trái phải bằng giới hạn phải.

c) Tính giá trị của hàm số tại $x = -2$.

d) Kiểm tra tính liên tục của hàm số tại x = -2 khi a = 2, b = 0. Hàm số liên tục tại $x_0$ nếu $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Ta có $\lim_{x \to -2^+} f(x) = \lim_{x \to -2^+} (x + 1) = -2 + 1 = -1$.

b) Đúng. Để hàm số có giới hạn tại x = -2, ta cần:

$\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x)$; $\lim_{x \to -2^-} \frac{x^2 + ax + b}{x^2 - 4} = -1$.

Để giới hạn này hữu hạn khi mẫu số tiến về 0, từ số cũng phải tiến về 0.

Suy ra $(-2)^2 + a(-2) + b = 0 \Rightarrow 4 - 2a + b = 0 \Rightarrow b = 2a - 4$.

Khi đó, $\lim_{x \to -2^-} \frac{x^2 + ax + b}{x^2 - 4} = \lim_{x \to -2^-} \frac{x + a - 2}{x - 2}$

$= \frac{-2 + a - 2}{-2 - 2} = \frac{a - 4}{-4} = \frac{4 - a}{4}$.

Vậy $\frac{4 - a}{4} = -1 \Rightarrow 4 - a = -4 \Rightarrow a = 8$.

Thay a = 8 vào b = 2a - 4, ta có b = 12.

Vậy 3a - b = 3.8 - 12 = 12.

c) Sai. f(-2) được xác định bởi nhánh x + 1 khi $x \geq -2$.

Có f(-2) = -2 + 1 = -1.

d) Đúng. Khi a = 2, b = 0: $\lim_{x \to -2^+} f(x) = -1$.

$\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^-} \frac{x^2 + 2x}{x^2 - 4}$

$= \lim_{x \to -2^-} \frac{x(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \lim_{x \to -2^-} \frac{x}{x - 2} = \frac{1}{2}$.

Vì $\lim_{x \to -2^+} f(x) \neq \lim_{x \to -2^-} f(x)$, nên hàm số không có giới hạn tại x = -2.

Do đó hàm số không liên tục tại x = -2.