Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}}}\\1\end{array}}…

Phương pháp giải:

Tính biểu thức $f(x)$ tại $x = 2$.

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x)$, xét tính liên tục của hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Khi $x = 2$ thì $f(x) = 1$. Do đó $f(2) = 1$.

b) Sai. Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)(x - 1)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x - 1) = 2 - 1 = 1$.

c) Đúng. Ta có:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 1}\\{f(2) = 1}\end{array}} \right.$ suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) = 1$.

Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

d) Sai. Khi $x \ne 2$ thì $f(x) = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}} = x - 1$ nên ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } \frac{{\sqrt {xf(x) + 1} }}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } \frac{{\sqrt {x(x - 1) + 1} }}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}{{x + 1}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } \frac{{\left| x \right|\sqrt {1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } \frac{{ - x\sqrt {1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x + 1}} = {\rm{\;}} - 1$.