Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x^{2} - 2x + 6}{x + 1}$ có đồ thị (C). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Phương pháp giải:

a) Tính đạo hàm của thương.

b) Lập bảng biến thiên.

c) Chia đa thức để tìm tiệm cận xiên.

d) Áp dụng BĐT AM - GM.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng.

$f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {{x^2} - 2x + 6} \right)}^\prime }\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 6} \right){{\left( {x + 1} \right)}^\prime }}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$.

b) Sai.

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 4\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số $f\left( x \right)$ có giá trị cực tiểu bằng 2.

c) Đúng. Ta có: $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x + 6}}{{x + 1}} = x - 3 + \frac{9}{{x + 1}}$.

Vậy $y = x - 3$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

d) Đúng. Có $I\left( { - 1; - 4} \right)$ là giao điểm của hai đường tiệm cận.

Gọi $M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)$. Khi đó $\overrightarrow {IM} = \left( {x + 1;y + 4} \right)$, bình phương khoảng cách IM:

$I{M^2} = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {x - 3 + \frac{9}{{x + 1}} + 4} \right)^2}$.

$I{M^2} = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {x + 1 + \frac{9}{{x + 1}}} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} + 18 + {\left( {\frac{9}{{x + 1}}} \right)^2}$.

$I{M^2} = 2{\left( {x + 1} \right)^2} + \frac{{81}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + 18$.

Theo bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):

$I{M^2} \ge 2\sqrt {162} + 18 = 6\sqrt 2 + 18 \Leftrightarrow IM \ge \sqrt {6\sqrt 2 + 18}$.

Dấu xảy ra khi $2{\left( {x + 1} \right)^2} = \frac{{81}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$.

${\left( {x + 1} \right)^4} = \frac{{81}}{2}$suy ra $x = \pm \frac{3}{{\sqrt[4]{2}}} - 1$.

Điểm M trên đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ có khoảng cách đến I là nhỏ nhất (với I là giao điểm của hai tiệm cận) với hoành độ dương là$\frac{3}{{\sqrt[4]{2}}} - 1$.