Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x^{2} - 2x + 6}{x + 1}$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Phương pháp giải:

Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. $f(x) = \frac{{{x^2} - 2x + 6}}{{x + 1}} = x - 3 + \frac{9}{{x + 1}}$ $(D = \mathbb{R}\backslash \{ - 1\} )$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [f(x) - (x - 3)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{9}{{x + 1}} = 0$ nên tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng y = x – 3.

b) Sai. Hàm số $y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}$ $(a,m \ne 0)$.

c) Sai. Hàm số không liên tục trên (-4; 2) nên không nghịch biến trên (-4; 2).

d) Đúng. $f'(x) = \frac{{({x^2} - 2x + 6)'(x + 1) - ({x^2} - 2x + 6)(x + 1)'}}{{{{(x + 1)}^2}}}$

$= \frac{{(2x - 2)(x + 1) - ({x^2} - 2x + 6)}}{{{{(x + 1)}^2}}}$

$= \frac{{(2{x^2} - 2) - ({x^2} - 2x + 6)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{{{(x + 1)}^2}}}$.