Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x - 1}{x + 1}$ . Mỗi kết quả dưới đây đúng hay sai?

Phương pháp giải:

a) Thay x = 0 vào hàm số rồi tính.

b) Tìm ĐKXĐ của hàm số.

c) Giải phương trình.

d) Biến đổi f(x) về dạng $f\left( x \right) = a + \frac{b}{{x + 1}}$ với a, b nguyên.

f(x) nguyên khi $\frac{b}{{x + 1}}$ nguyên, hay x + 1 là ước của b. Tìm các giá trị x nguyên thỏa mãn.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. $f\left( 0 \right) = \frac{{0 - 1}}{{0 + 1}} = - 1$.

b) Đúng. ĐKXĐ: $x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 1$. Vậy $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

c) Sai. $\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = x - 1$

${x^2} - 1 = x - 1$

${x^2} - x = 0$

Suy ra x = 0 (TM) hoặc x = 1 (TM).

Vậy phương trình f(x) = x – 1 có 2 nghiệm là x = 0 và x = 1.

d) Đúng. $f\left( x \right) = \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{x + 1 - 2}}{{x + 1}} = \frac{{x + 1}}{{x + 1}} - \frac{2}{{x + 1}} = 1 - \frac{2}{{x + 1}}$.

f(x) nguyên khi và chỉ khi $\frac{2}{{x + 1}}$ nguyên, hay x + 1 là ước của 2.

Khi đó $x + 1 \in \{ \pm 1; \pm 2\} \Rightarrow x \in \{ - 3; - 2;0;1\}$.

Vậy tồn tại 4 số nguyên x để f(x) là nguyên.