Cho hàm số $f(x) = 2\cos x + x$ .

Phương pháp giải:

Thay x bằng các giá trị đã cho để tính.

Tính đạo hàm của hàm số lượng giác.

Giải phương trình lượng giác.

Ứng dụng sự biến thiên của hàm số để tìm giá trị lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. $f(x) = 2\cos x + x$.

Ta có $f(0) = 2\cos 0 + 0 = 2$ và $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\cos\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{2}$.

b) Sai. ${f^\prime }(x) = - 2\sin x + 1$.

c) Đúng. Ta có:

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow - 2\sin x + 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\end{array}} \right.$

Trên đoạn $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$, phương trình ${f^\prime }(x) = 0$ có nghiệm là $\frac{\pi }{6}$.

d) Đúng. Ta có $f(0) = 2;f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2} \approx 1,57;f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 3 + \frac{\pi }{6} \approx 2,26.$

Vậy giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$ là $\sqrt 3 + \frac{\pi }{6}$.