Cho hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):y = 2x + 1,\left( {{d_2}} \right):y = x + 1$ .

Phương pháp giải:

a) Hai đường thẳng $y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)$ và $y = a'x + b'\left( {a' \ne 0} \right)$ cắt nhau nếu $a \ne a'$.

b) Cách 1. Vì hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ cắt nhau nên điểm duy nhất mà hai đường thẳng cùng đi qua là giao điểm của hai đường thẳng đó.

Xét phương trình hoành độ giao điểm hai đường thẳng $y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)$ và $y = a'x + b'\left( {a' \ne 0} \right)$ để tìm hoành độ giao điểm: $ax + b = a'x + b'$.

Từ đó tính tung độ giao điểm.

Cách 2. Thay toạ độ điểm $A\left( {1;0} \right)$ vào $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ để xem $A\left( {1;0} \right)$ có thuộc hai đường thẳng hay không.

c) Gọi đường thẳng $\left( {{d_3}} \right)$ có dạng $\left( {{d_3}} \right):y = ax + b$.

Vì $\left( {{d_3}} \right)//\left( {{d_1}} \right)$ nên ta tìm được hệ số a (hai đường thẳng $y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)$ và $y = a'x + b'\left( {a' \ne 0} \right)$ song song khi $a = a',b \ne b'$.

Vì $\left( {{d_3}} \right)$ đi qua $E\left( { - 1;0} \right)$ nên ta thay $E\left( { - 1;0} \right)$ vào $\left( {{d_3}} \right)$ để tìm b.

d) Gọi đường thẳng $\left( {{d_4}} \right)$ có dạng $y = ax + b$.

Vì đường thẳng $\left( {{d_4}} \right)$ có hệ số góc là 3 ta tìm được a.

Mà đường thẳng $\left( {{d_4}} \right)$ đồng quy với $\left( {{d_1}} \right)$, $\left( {{d_2}} \right)$ nên đường thẳng $\left( {{d_4}} \right)$ cũng đi qua giao điểm của hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$.

Do đó thay toạ độ giao điểm vào đường thẳng $\left( {{d_4}} \right)$ để tìm b.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng

Ta có: $2 \ne 1$ nên hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ cắt nhau.

b) Sai

Cách 1. Vì hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ cắt nhau nên điểm duy nhất mà hai đường thẳng cùng đi qua là giao điểm của hai đường thẳng đó.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$, ta có:

$\begin{array}{l}2x + 1 = x + 1\\2x - x = 1 - 1\\x = 0\end{array}$

Khi đó $y = 2.0 + 1 = 1$ nên giao điểm của hai đường thẳng là điểm $A'\left( {0;1} \right) \ne A\left( {1;0} \right)$.

Do đó khẳng định b sai.

Cách 2. Thay toạ độ điểm $A\left( {1;0} \right)$ vào $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$.

* Thay toạ độ điểm $A\left( {1;0} \right)$ vào $\left( {{d_1}} \right):y = 2x + 1$:

Với $x = 1$ thì $y = 2.1 + 1 = 3 \ne 0$ nên điểm $A\left( {1;0} \right)$ không thuộc đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):y = 2x + 1$.

* Thay toạ độ điểm $A\left( {1;0} \right)$ vào $\left( {{d_2}} \right):y = x + 1$:

Với $x = 1$ thì $y = 1 + 1 = 2 \ne 0$ nên điểm $A\left( {1;0} \right)$ không thuộc đường thẳng $\left( {{d_2}} \right):y = x + 1$.

Do đó hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ không đi qua điểm $A\left( {1;0} \right)$.

c) Sai

Gọi đường thẳng $\left( {{d_3}} \right)$ có dạng $\left( {{d_3}} \right):y = ax + b$.

Vì $\left( {{d_3}} \right)//\left( {{d_1}} \right)$ nên $a = 2,b \ne 1$. Do đó ta có $\left( {{d_3}} \right):y = 2x + b$.

Thay $E\left( { - 1;0} \right)$ vào $\left( {{d_3}} \right)$, ta được:

$\begin{array}{l}2.\left( { - 1} \right) + b = 0\\ - 2 + b = 0\\b = 0 - \left( { - 2} \right)\\b = 2\left( {TM} \right)\end{array}$

Vậy đường thẳng $\left( {{d_3}} \right):y = 2x + 2$.

d) Đúng

Gọi đường thẳng $\left( {{d_4}} \right)$ có dạng $y = ax + b$.

Vì đường thẳng $\left( {{d_4}} \right)$ có hệ số góc là 3 nên ta có: $\left( {{d_4}} \right):y = 3x + b$.

Mà đường thẳng $\left( {{d_4}} \right)$ đồng quy với $\left( {{d_1}} \right)$, $\left( {{d_2}} \right)$ nên đường thẳng $\left( {{d_4}} \right)$ cũng đi qua giao điểm của hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$.

Do đó $A'\left( {0;1} \right)$ thuộc đường thẳng $\left( {{d_4}} \right)$. Thay $A'\left( {0;1} \right)$ vào $\left( {{d_4}} \right)$, ta được:

$\begin{array}{l}3.0 + b = 1\\b = 1\end{array}$

Vậy đường thẳng $\left( {{d_4}} \right):y = 3x + 1$.

Đáp án: ĐSSĐ