Cho $\Delta ABC$ nhọn, đường cao $AH.$ Lấy điểm $D$ sao cho $AB$ là trung trực của $HD.$ Lấy điểm $E$ sao cho $AC$ là…

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng và tính chất hai tam giác bằng nhau..

Lời giải chi tiết:

Vì $AB$ là đường trung trực của $HD$ (gt) $\Rightarrow AD = AH$ (tính chất trung trực của đoạn thẳng)

Vì $AC$ là đường trung trực của $HE$ (gt) $\Rightarrow AH = AE$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

$\Rightarrow AD = AE \Rightarrow \Delta ADE$ cân tại $A.$ Nên A đúng.

+) $M$ nằm trên đường trung trực của $HD$ nên $MD = MH$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Xét $\Delta AMD$ và $\Delta AMH$ có:

\)$AM$ chung. $AD = AH$ (cmt) $MD = MH$ (cmt) \( \Rightarrow \Delta AMD = \Delta AMH\left( {c - c - c} \right) \Rightarrow \widehat {MDA} = \widehat {MHA} (2 góc tương ứng)

Lại có, $N$ thuộc đường trung trực của $HE$ nên $NH = NE$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).

+) Xét $\Delta AHN$ và $\Delta AEN$ có:

$AN$ chung

$AH = AE$ (cmt)

$NH = NE$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta AHN = \Delta AEN\left( {c - c - c} \right)$

$\Rightarrow \widehat {NHA} = \widehat {NEA}$ (2 góc tương ứng)

Mà $\Delta ADE$ cân tại $A$ (cmt) $\Rightarrow \widehat {MDA} = \widehat {NEA} \Rightarrow \widehat {MHA} = \widehat {NHA}$ .

Vậy $HA$ là đường phân giác của $\widehat {MHN}$ .