Cho $\Delta ABC$ cân tại $A,$ hai đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $I.$ Tia $AI$ cắt $BC$ tại $M.$ Khi đó $\Delta…

Phương pháp giải:

+) Dựa vào tính chất của các đường cao trong tam giác.

+) Dựa vào tính chất của tam giác cân.

+) Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền.

Lời giải chi tiết:

Xét $\Delta ABC$ có $BD$ và $CE$ là hai đường cao cắt nhau tại $I$ suy ra $AI$ là đường cao của tam giác đó.

Mà $AI$ cắt $BC$ tại $M$ nên $AM \bot BC$.

Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ (gt) nên $AM$ là đường cao cũng chính là đường trung tuyến của tam giác đó. (tính chất của tam giác cân).

$\Rightarrow BM = MC$ (tính chất đường trung tuyến)

Vì $\left\{ \begin{array}{l}CE \bot AB\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {BEC} = \widehat {BDC} = {90^0}$.

Xét ${\Delta}BEC$ có $M$ là trung điểm của $BC$ nên suy ra $EM$ là trung tuyến của ${\Delta}BEC$

$\Rightarrow EM = \dfrac{{BC}}{2}\left( 1 \right)$ (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)

Xét ${\Delta}BDC$ có $M$ là trung điểm của $BC$ nên $DM$ là trung tuyến của ${\Delta}BDC$

$\Rightarrow DM = \dfrac{{BC}}{2}\left( 2 \right)$ (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)

Từ $\left( 1 \right)\left( 2 \right) \Rightarrow EM = DM \Rightarrow \Delta EMD$ cân tại $M$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).