Cho dãy số $({u_n})$ được xác định bởi $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{u_1} = 3}\\{{u_{n + 1}} =…

Phương pháp giải:

a) Dãy số $({u_n})$ là dãy số giảm nếu ${u_n} \gt {u_{n + 1}}$. Dãy số $({u_n})$ là dãy số tăng nếu ${u_n} \lt {u_{n + 1}}$.

b) Dãy số $({u_n})$ là dãy số bị chặn nếu $({u_n})$ vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức tồn tại hai số m, M sao cho $m \le {u_n} \le M$ $\forall n \in \mathbb{N}*$.

c) Tính ${u_2}$ bằng công thức ${u_{n + 1}} = 2{u_n}$.

d) Tìm số hạng đầu ${u_1}$ và công sai d. Công thức tổng quát: ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. Ta có: ${u_1} = 3 \gt 0$. Với n = 1, ta được ${u_2} = 2{u_1} = 2.3 = 6 \gt 0$.

Giả sử n = k, ta cần chứng minh ${u_k} \gt 0$ thì ${u_{k + 1}} \gt 0$.

Thật vậy, ${u_{k + 1}} = 2{u_k} \gt 0$ vì ${u_k} \gt 0$.

Vậy ${u_n} \gt 0$ $\forall n \ge 1$.

Ta có: ${u_{n + 1}} - {u_n} = 2{u_n} - {u_n} = {u_n} \gt 0$. Suy ra ${u_n} \lt {u_{n + 1}}$. Vậy dãy số trên là dãy số tăng.

b) Sai. Ta có: $({u_n})$ là dãy số tăng nên $({u_n})$ bị chặn dưới tại ${u_1} = 3$.

Mặt khác, $({u_n})$ là cấp số nhân có công bội $q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{2{u_n}}}{{{u_n}}} = 2$ và số hạng đầu ${u_1} = 3$ nên công thức tổng quát là ${u_n} = {3.2^{n - 1}}$. Ta có $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {3.2^{n - 1}} = + \infty$ nên dãy không bị chặn trên.

Vậy dãy số không bị chặn.

c) Đúng. ${u_2} = 2{u_1} = 2.3 = 6$.

d) Đúng. Theo câu b), công thức tổng quát là ${u_n} = {3.2^{n - 1}}$.