Cho dãy số $\left( u_{n} \right)$ với $u_{n} = n^{2} + n$ . Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

Phương pháp giải:

a) Thay n = 7 vào $u_{n} = n^{2} + n$.

b) Giải phương trình $n^{2} + n = 5800$ tìm $n \in {\mathbb{N}}^{*}$.

c) Xét hiệu $u_{n + 1} - u_{n}$.

d) Tìm số M sao cho $S_{n} \leq M$ với mọi $n \in {\mathbb{N}}^{*}$.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. $u_{7} = 7^{2} + 7 = 56$.

b) Sai. $\left. n^{2} + n = 5800\Leftrightarrow n^{2} + n - 5800 = 0 \right.$. Phương trình trên không có nghiệm n nguyên nên 5800 không phải là một số hạng của dãy số $\left( u_{n} \right)$.

c) Đúng. $u_{n + 1} - u_{n} = {(n + 1)}^{2} + (n + 1) - (n^{2} + n) = 2n + 2 \gt 0$ với mọi $n \in {\mathbb{N}}^{*}$. Do đó, dãy số tăng.

d) Sai. Ta có $u_{n} = n^{2} + n = n(n + 1)$. Khi đó:

$S_{n} = \dfrac{5}{1.2} + \dfrac{5}{2.3} + \dfrac{5}{3.4} + ... + \dfrac{5}{n(n + 1)}$

$= 5\left( {1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1}} \right)$

$= 5\left( {1 - \dfrac{1}{n + 1}} \right) = 5 - \dfrac{5}{n + 1} \lt 5$.

Vậy dãy số $\left( S_{n} \right)$ bị chặn trên tại 5.