Cho dãy số $\left( u_{n} \right)$ , với $u_{n} = 3^{n},\forall n \in {\mathbb{N}}^{*}$ .

Phương pháp giải:

a) Tính $u_4$.

b) Tính $\dfrac{u_{1} + u_{9}}{2}$ và so sánh với $u_{5}$.

c) Xét tính tăng giảm của dãy số. Dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.

d) Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. ${u_4} = {3^4} = 81 \lt 100$.

b) Sai. $\frac{{{u_1} + {u_9}}}{2} = \frac{{{3^1} + {3^9}}}{2} = 9843 \ne {3^5} = {u_5}$.

c) Sai. Dãy số tăng và không bị chặn.

d) Sai. Dãy $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số nhân với ${u_1} = 3$ và công bội $q = 3$.

Do đó ${S_{2024}} = 1 + {u_1} + {u_2} + ... + {u_{2024}} = 1 + {u_1}\frac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}$

$= 1 + 3.\frac{{{3^{2024}} - 1}}{{3 - 1}} = 1 + \frac{{{3^{2025}} - 1}}{2} = \frac{{{u_{2025}} + 1}}{2}$.