Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ : $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_n} = 2{u_{n - 1}} + 2 - n\end{array}…

Phương pháp giải:

Thay số vào công thức đã cho.

$\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân khi ${v_n} = q.{v_{n - 1}}$ (q là hằng số).

Áp dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số nhân $S = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}$.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Ta có: ${u_2} = 2.{u_1} + 2 - 2 = 2.2 = 4$.

b) Sai. Ta có: ${u_n} - n = 2\left( {{u_{n - 1}} - \left( {n - 1} \right)} \right)$.

c) Đúng. Đặt ${v_n} = {u_n} - n$ thì ${v_{n - 1}} = {u_{n - 1}} - \left( {n - 1} \right)$. Mà ${u_n} - n = 2\left( {{u_{n - 1}} - \left( {n - 1} \right)} \right)$ nên ${v_n} = 2{v_{n - 1}}$ dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân.

d) Đúng. Từ ${v_n} = 2{v_{n - 1}}$ dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân có ${v_1} = 1,$ công bội $q = 2$ nên số hạng tổng quát ${v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = {2^{n - 1}}$ mà ${v_n} = {u_n} - n$ nên ${2^{n - 1}} = {u_n} - n \Leftrightarrow {u_n} = {2^{n - 1}} + n$.

${S_{100}} = \left( {{2^0} + {2^1} + ... + {2^{99}}} \right) + \left( {1 + 2 + ... + 100} \right) = \frac{{1\left( {1 - {2^{99}}} \right)}}{{1 - 2}} + \frac{{\left( {1 + 100} \right)50}}{2} = 2524 + {2^{99}}$.