Cho $\cos\alpha = - \dfrac{5}{12},(0{^\circ} \lt \alpha \lt 180{^\circ})$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$.

Lời giải chi tiết:

${\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( { - \frac{5}{{12}}} \right)^2} = \frac{{119}}{{144}}$.

Vì ${0^o} \lt x \lt {180^o}$ nên $\sin \alpha \gt 0 \Rightarrow \sin \alpha = \frac{{\sqrt {119} }}{{12}}$.

$\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{\sqrt {119} }}{{12}}}}{{ - \frac{5}{{12}}}} = - \frac{{\sqrt {119} }}{5}$, $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = - \frac{5}{{\sqrt {119} }}$.

a) Đúng. Vì ${0^o} \lt \alpha \lt {180^o}$ và $\cos \alpha \lt 0$ nên ${90^o} \lt \alpha \lt {180^o}$. Khi đó $\alpha$ là góc tù.

b) Sai. $\frac{{2\sin \alpha + \cos \alpha }}{{1 - \tan \alpha }} = \frac{{2.\frac{{\sqrt {119} }}{{12}} + \left( { - \frac{5}{{12}}} \right)}}{{1 - \left( { - \frac{{\sqrt {119} }}{5}} \right)}} \approx 0,44$.

c) Đúng. $\tan \alpha + 5\cot \alpha = - \frac{{\sqrt {119} }}{5} + 5.\left( { - \frac{5}{{\sqrt {119} }}} \right) \approx - 4,47 \lt 0$.

d) Sai. $\sin \alpha = \frac{{\sqrt {119} }}{{12}}$.