Cho $\cos\alpha = \dfrac{3}{4}$ với $\dfrac{3\pi}{2} \lt \alpha \lt 2\pi$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cộng, công thức nhân đôi, định nghĩa góc lượng giác, giá trị lượng giác.

Lời giải chi tiết:

b) Sai. ${\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{7}{{16}}$.

Mà $\frac{{3\pi }}{2} \lt \alpha \lt 2\pi \Rightarrow \sin \alpha = - \frac{{\sqrt 7 }}{4}$.

a) Sai. $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2.\left( { - \frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right).\frac{3}{4} = - \frac{{3\sqrt 7 }}{8}$.

c) Đúng. $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{ - \frac{{\sqrt 7 }}{4}}}{{\frac{3}{4}}} = - \frac{{\sqrt 7 }}{3}$.

$\tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \frac{\pi }{3}}}{{1 - \tan \alpha \tan \frac{\pi }{3}}}$

$= \frac{{ - \frac{{\sqrt 7 }}{3} + \sqrt 3 }}{{1 - \left( { - \frac{{\sqrt 7 }}{3}} \right).\sqrt 3 }} = \frac{{3\sqrt 7 - 4\sqrt 3 }}{3}$.

Vậy $M = \tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{{4\sqrt 3 }}{3} = \sqrt 7$.

d) Đúng. $\cos (\alpha + 21\pi ) = \cos (\alpha + \pi + 20\pi )$

$= \cos (\alpha + \pi ) = - \cos \alpha = - \frac{3}{4}$.