Cho cặp số $\left( {x;y} \right)$ để biểu thức ${{P }} = {x^2}-8x + {y^2} + 2y + 5$ có giá trị nhỏ nhất. Khi đó tổng $x…

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức về dạng: ${\left( {A + B} \right)^2} + {\left( {C + D} \right)^2} + m$ rồi đánh giá: ${\left( {A + B} \right)^2} + {\left( {C + D} \right)^2} + m \ge m$

Dấu = xảy ra khi ${\left( {A + B} \right)^2} = 0;{\left( {C + D} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow A = - B;C = - D$ .

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $m$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có

${{P }} = {x^2}-8x + {y^2} + 2y + 5 = \left( {{x^2}-8x + 16} \right) + \left( {{y^2} + 2y + 1} \right) - 12 = {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} - 12$

Vì ${\left( {x - 4} \right)^2} \ge 0\forall x;{\left( {y + 1} \right)^2} \ge 0\forall y \Rightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} - 12 \ge - 12\forall x,y$

Dấu = xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 0\\y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = - 1\end{array} \right.$

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là $- 12$ khi $x = 4;y = - 1 \Rightarrow x + 2y = 4 + 2.\left( { - 1} \right) = 2$