Cho $C = 1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{11}}$ . Khi đó $C$ chia hết cho số nào dưới đây?

Phương pháp giải:

Tổng C có 12 số hạng nên nhóm ba số hạng liền nhau , biến đổi để chứng minh dựa vào tính chất : $a \, \vdots \, m \Rightarrow a.k \, \vdots \, m \, (k \in \mathbb{N})$

Lời giải chi tiết:

Ghép ba số hạng liên tiếp thành một nhóm , ta được

$C = 1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{11}}$$= \left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + \left( {{3^3} + {3^4} + {3^5}} \right)... + \left( {{3^9} + {3^{10}} + {3^{11}}} \right)$

$= \left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + {3^3}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + ... + {3^9}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right)$$= \left( {1 + 3 + {3^2}} \right)\left( {1 + {3^3} + {3^6} + {3^9}} \right)$

$= 13.\left( {1 + {3^3} + {3^6} + {3^9}} \right) \, \vdots \, 13$ (do $13 \, \vdots \, 13$)

Vậy $C \, \vdots \, 13.$