Cho biểu thức $P = \dfrac{\sin x + 2\sin 2x + \sin 3x}{\cos x + 1}$ .

Phương pháp giải:

a) Rút gọn biểu thức lượng giác bằng cách sử dụng các công thức cộng, biến đổi tổng thành tích.

b) Giải phương trình P = 0 để tìm số nghiệm trong khoảng cho trước.

c) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

d) Thay giá trị x vào biểu thức đã rút gọn để tính giá trị của P.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. Điều kiện $\cos x \neq -1 \Leftrightarrow x \neq \pi + k2\pi$.

$P = \frac{\sin x + 2\sin 2x + \sin 3x}{\cos x + 1}$

$\frac{2\sin \frac{x + 3x}{2} \cos \frac{x - 3x}{2} + 2\sin 2x}{\cos x + 1}$

$= \frac{2\sin 2x \cos(-x) + 2\sin 2x}{\cos x + 1}$

$\frac{2\sin 2x \cos x + 2\sin 2x}{\cos x + 1}$

$= 2 \sin 2x$.

Vậy $P = 2 \sin 2x$.

b) Sai. Cho $P = 0 \Rightarrow 2 \sin 2x = 0 \Rightarrow \sin 2x = 0$.

$\Rightarrow 2x = k\pi \Rightarrow x = \frac{k\pi}{2} \text{ với } k \in \mathbb{Z}$.

Trong khoảng $[0; 2\pi]$:

Với $k = 0 \Rightarrow x = 0$.

Với $k = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}$.

Với $k = 2 \Rightarrow x = \pi$ (loại).

Với $k = 3 \Rightarrow x = \frac{3\pi}{2}$.

Với $k = 4 \Rightarrow x = 2\pi$.

Vậy các giá trị x để P = 0 là $0, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$. Có 4 giá trị.

c) Sai. Điều kiện xác định của biểu thức P là:

$\cos x + 1 \neq 0 \Rightarrow \cos x \neq -1 \Rightarrow x \neq \pi + k2\pi$.

d) Đúng. Tại $x = \frac{\pi}{4}$ (thoả mãn điều kiện): $P = 2 \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{4} \right) = 2 \sin \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 1 = 2$.