Cho biểu thức $A = \left( {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + x}} + \frac{2}{{x + 1}}} \right):\frac{{{{\left( {x + 1}…

Phương pháp giải:

a) Sử dụng các quy tắc tính toán với phân thức.

b) Kiểm tra xem $x = - 1$ có thoả mãn điều kiện không, nếu có, thay $x = - 1$ vào A.

c) Từ $A = 1$ giải để tìm x.

d) Để A nguyên thì $\frac{k}{{g\left( x \right)}}$ nguyên, hay $k \vdots g\left( x \right)$.

Lập bảng để tìm các giá trị của x.

Lời giải chi tiết:

a) Sai

Ta có:

$A = \left( {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + x}} + \frac{2}{{x + 1}}} \right):\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{2x}}$ với $x \ne 0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne - 1$

$\begin{array}{l} = \left[ {\frac{{{x^2} + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2x}}{{x\left( {x + 1} \right)}}} \right].\frac{{2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}.2x}}{{x{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\\ = \frac{2}{{x + 1}}\end{array}$

b) Sai

Vì $x = - 1$ không thoả mãn điều kiện xác định nên ta không tính được giá trị của A.

c) Đúng

Ta có:

$\begin{array}{l}A = 1\\\frac{2}{{x + 1}} = 1\\x + 1 = 2\\x = 2 - 1\\x = 1\end{array}$

Vậy $x = 1$ thì $A = 1$.

d) Sai

Để $A \in \mathbb{Z}$ thì $\frac{2}{{x + 1}}$ nguyên, hay $\left( {x + 1} \right) \in$ Ư$\left( 2 \right) = \left\{ { - 2; - 1;1;2} \right\}$.

Ta có bảng giá trị sau:

Vậy $x = \left\{ { - 3; - 2;1} \right\}$ thì A có giá trị nguyên.

Đáp án: SSĐS