Cho biểu thức $A = \left( {\frac{1}{{\sqrt a + 1}} - \frac{1}{{\sqrt a + a}}} \right):\frac{{\sqrt a - 1}}{{2\sqrt a +…

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất của căn thức bậc hai để rút gọn.

b) Thay $a = 4$ vào A để tính giá trị biểu thức A.

c) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức để tính.

d) Đưa A về dạng $A = a + \frac{b}{c}$ với a, b là các số nguyên, c là biểu thức chứa x.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng

Ta có:

$\begin{array}{l}A = \left( {\frac{1}{{\sqrt a + 1}} - \frac{1}{{\sqrt a + a}}} \right):\frac{{\sqrt a - 1}}{{2\sqrt a + a + 1}}\\A = \left[ {\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt a \left( {1 + \sqrt a } \right)}}} \right]:\frac{{\sqrt a - 1}}{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}}\\A = \frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt a - 1}}\\A = \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a }}\end{array}$

b) Đúng

Thay $a = 4$ vào A, ta được: $A = \frac{{\sqrt 4 + 1}}{{\sqrt 4 }} = \frac{3}{2}$.

c) Sai

Ta có: $\sqrt a .A = \sqrt a .\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a }} = \sqrt a + 1$.

Vì $\sqrt a .A \ge 2$ nên $\sqrt a + 1 \ge 2$, suy ra $\sqrt a \ge 1$, do đó $a \ge 1$.

Kết hợp với điều kiện $a \ne 1$, ta có $a \gt 1$.

d) Đúng

Ta có: $A = \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a }} = 1 + \frac{1}{{\sqrt a }}$.

Để A nguyên thì $A = 1 + \frac{1}{{\sqrt a }}$ nguyên, do đó $\frac{1}{{\sqrt a }}$ nguyên.

Để $\frac{1}{{\sqrt a }}$ nguyên thì $\sqrt a$ là ước của 1, và $\sqrt a \gt 0$ nên $\sqrt a = 1$. Suy ra $a = 1$.

Mà $a \ne 1$ nên không có giá trị của a để $A$ nguyên.

Đáp án a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ