Grade
Đăng nhập
Lớp 12Lớp 11Lớp 10Lớp 9Lớp 8Lớp 7Lớp 6Lớp 5Lớp 4Lớp 3Lớp 2Lớp 1Tất cả đềBằng lái xeHướng nghiệpNgành họcCông cụ

Cho ba số thực $a,\,b,\,c$ đôi một phân biệt. Khẳng định nào sau đây là đúng?

  1. 1Một đáp án · Vận dụng

    Cho ba số thực a, b, ca,\,b,\,c đôi một phân biệt. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Đáp án: <p><span data-type="math-inline" data-latex="\frac{{{a^2}}}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} \ge 2">$\frac{{{a^2}}}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} \ge 2$</span></p>

    Phương pháp giải:

    Sử dụng công thức ab(b−c)(c−a)+bc(c−a)(a−b)+ac(a−b)(b−c)=−1\frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}} = - 1.

    Lời giải chi tiết:

    a2(b−c)2+b2(c−a)2+c2(a−b)2=(ab−c)2+(bc−a)2+(ca−b)2=(ab−c+bc−a+ca−b)2−2[ab(b−c)(c−a)+bc(c−a)(a−b)+ca(a−b)(b−c)]≥−2[ab(b−c)(c−a)+bc(c−a)(a−b)+ca(a−b)(b−c)]\begin{array}{l}\frac{{{a^2}}}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = {\left( {\frac{a}{{b - c}}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{c - a}}} \right)^2} + {\left( {\frac{c}{{a - b}}} \right)^2}\\ = {\left( {\frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}} + \frac{c}{{a - b}}} \right)^2} - 2\left[ {\frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ca}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}} \right]\\ \ge - 2\left[ {\frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ca}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}} \right]\end{array}

    (Vì (ab−c+bc−a+ca−b)2≥0∀a, b, c{\left( {\frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}} + \frac{c}{{a - b}}} \right)^2} \ge 0\forall a,\,b,\,c đôi một khác nhau)

    Mà ab(b−c)(c−a)+bc(c−a)(a−b)+ac(a−b)(b−c)\frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}

    =ab(a−b)+bc(b−c)+ac(c−a)(a−b)(b−c)(c−a)=ab(a−b)+bc(b−c)+ac(c−b+b−a)(a−b)(b−c)(c−a)=(ab−ac)(a−b)+(bc−ac)(b−c)(a−b)(b−c)(c−a)=a(b−c)(a−b)−c(a−b)(b−c)(a−b)(b−c)(c−a)=(a−c)(a−b)(b−c)(a−b)(b−c)(c−a)=−1\begin{array}{l} = \frac{{ab\left( {a - b} \right) + bc\left( {b - c} \right) + ac\left( {c - a} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{ab\left( {a - b} \right) + bc\left( {b - c} \right) + ac\left( {c - b + b - a} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{\left( {ab - ac} \right)\left( {a - b} \right) + \left( {bc - ac} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{a\left( {b - c} \right)\left( {a - b} \right) - c\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{\left( {a - c} \right)\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} = - 1\end{array}

    ⇒a2(b−c)2+b2(c−a)2+c2(a−b)2≥−2[ab(b−c)(c−a)+bc(c−a)(a−b)+ca(a−b)(b−c)]=(−2)(−1)=2\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\\ \ge - 2\left[ {\frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ca}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}} \right]\\ = \left( { - 2} \right)\left( { - 1} \right) = 2\end{array}

    Báo lỗi
Câu này thuộc đềTrắc nghiệm Bài 23: Phép cộng và phép trừ phân thức đại số Toán 8