Cho $\alpha,\,\,\beta$ là hai góc thoả mãn $\alpha,\beta \in \left( {\dfrac{\pi}{2};\pi} \right)$ và $\sin\alpha =…

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$, công thức cộng, công thức nhân đôi.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. Vì $\alpha ,\beta \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)$ nên $\cos \alpha \lt 0$, $\sin \beta \gt 0$, $\tan \alpha \lt 0$, $\tan \beta \lt 0$.

$\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - \frac{1}{9}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

b) Sai. $\sin \beta = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\beta } = \sqrt {1 - \frac{4}{9}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}$.

$\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{4}$, $\tan \beta = \frac{{\sin \beta }}{{\cos \beta }} = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}$.

$\tan \left( {\alpha - \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha - \tan \beta }}{{1 + \tan \alpha .\tan \beta }}$

$= \frac{{ - \frac{{\sqrt 2 }}{4} + \frac{{\sqrt 5 }}{2}}}{{1 + \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)}} = \frac{{4\sqrt 5 - 2\sqrt 2 }}{{8 + \sqrt {10} }} \gt \frac{1}{2}$.

c) Đúng. $\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

$= \left( {\frac{1}{3}} \right)\left( { - \frac{2}{3}} \right) + \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right) = - \frac{{2 + 2\sqrt {10} }}{9}$.

d) Đúng. $\frac{{3 - 4\cos 2\alpha + cos4\alpha }}{{3 + 4\cos 2\alpha + cos4\alpha }}$

$= \frac{{2{{(\cos 2\alpha - 1)}^2}}}{{2{{(\cos 2\alpha + 1)}^2}}} = \frac{{8{{\sin }^4}\alpha }}{{8{{\cos }^4}\alpha }}$

$= 8{\tan ^4}\alpha = {\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)^4} = \frac{1}{{64}}$.