Cho $A = \dfrac{{1.3.5.7...39}}{{21.22.23...40}}$ và $B = \dfrac{{1.3.5...\left( {2n - 1} \right)}}{{\left( {n + 1}…

Phương pháp giải:

Quan sát $A$ và $B$ ta thấy tử số của biểu thức đều thiếu thành phần tích các số chẵn $2.4.6.....2n$ nên ta có thể thử:

- Nhân cả tử và mẫu của $A$ với $2.4.6.....40$

- Nhân cả tử và mẫu của $B$ với $2.4.6.....2n$

Sau đó rút gọn các biểu thức ta được kết quả cần tìm.

Lời giải chi tiết:

+ Nhân cả tử và mẫu của $A$ với $2.4.6.....40$ ta được:

$A = \dfrac{{\left( {1.3.....39} \right).\left( {2.4.....40} \right)}}{{\left( {2.4.6.....40} \right).\left( {21.22.....40} \right)}}$$= \dfrac{{1.2.3.....39.40}}{{\left( {2.1} \right).\left( {2.2} \right).\left( {2.3} \right).....\left( {2.20} \right).\left( {21.22.....40} \right)}}$

$= \dfrac{{1.2.3.....39.40}}{{{2^{20}}.\left( {1.2.3.....20.21.22.....40} \right)}}$$= \dfrac{1}{{{2^{20}}}}$

+ Nhân cả tử và mẫu của $B$ với $2.4.6.....2n$ ta được:

$B = \dfrac{{\left( {1.3.....\left( {2n - 1} \right)} \right).\left( {2.4.....2n} \right)}}{{\left( {2.4.6.....2n} \right).\left( {\left( {n + 1} \right).\left( {n + 2} \right).....2n} \right)}}$$= \dfrac{{1.2.3.....\left( {2n - 1} \right).2n}}{{\left( {2.1} \right).\left( {2.2} \right).\left( {2.3} \right).....\left( {2.n} \right).\left( {\left( {n + 1} \right).\left( {n + 2} \right).....2n} \right)}}$

$= \dfrac{{1.2.3.....\left( {2n - 1} \right).2n}}{{{2^n}.\left( {1.2.3.....n.\left( {n + 1} \right).\left( {n + 2} \right).....2n} \right)}}$$= \dfrac{1}{{{2^n}}}$

Vậy $A = \dfrac{1}{{{2^{20}}}},B = \dfrac{1}{{{2^n}}}$