Cho $A = 1 - \dfrac{3}{4} + {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^3} + {\left(…

Phương pháp giải:

+ Nhân $A$ với $\dfrac{3}{4}$ rồi thực hiện cộng $A$ với $\dfrac{3}{4}A$, sau đó thu gọn kết quả và suy ra $A$.

+ Sử dụng: Khi $0 \lt a \lt 1$ và $m \gt n \gt 0$ thì ${a^m} \lt {a^n}$ để đánh giá $A$

Lời giải chi tiết:

$A = 1 - \dfrac{3}{4} + {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^3} + {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^4} - ... - {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2017}} + {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2018}}$

$\Rightarrow \dfrac{3}{4}A = \dfrac{3}{4} - {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^3} - {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^4} + ...$ $+ {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2017}} - {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2018}} + {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2019}}$

$\Rightarrow A + \dfrac{3}{4}A = 1 + {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2019}}$

$\Rightarrow \left( {1 + \dfrac{3}{4}} \right)A = 1 + {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2019}}$

$\Rightarrow \dfrac{7}{4}.A = 1 + {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2019}}$

$\Rightarrow A = \left[ {1 + {{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^{2019}}} \right]:\dfrac{7}{4} = \left[ {1 + {{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^{2019}}} \right].\dfrac{4}{7}$

Suy ra $A \gt 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Vì ${\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2019}} \lt \dfrac{3}{4} \Rightarrow A \lt \left( {1 + \dfrac{3}{4}} \right).\dfrac{4}{7} = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $0 \lt A \lt 1$.

Vậy $A$ không phải là số nguyên.