Cho $A = {1^3} + {3^3} + {5^3} + {7^3} + {9^3} + {11^3}$ . Khi đó

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: ${A^3} + {B^3} = (A + B)({A^2} - AB + {B^2})$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}A = {1^3} + {3^3} + {5^3} + {7^3} + {9^3} + {11^3}\\ = ({1^3} + {11^3}) + ({3^3} + {9^3}) + ({5^3} + {7^3})\\ = (1 + 11)({1^2} - 11 + {11^2}) + (3 + 9)({3^2} - 3.9 + {9^2}) + (5 + 7)({5^2} - 5.7 + {7^2})\\ = 12({1^2} - 11 + {11^2}) + 12({3^2} - 3.9 + {9^2}) + 12({5^2} - 5.7 + {7^2})\end{array}$

Vì mỗi số hạng trong tổng đều chia hết cho 12 nên $A \vdots 12$.

$\begin{array}{l}A = {1^3} + {3^3} + {5^3} + {7^3} + {9^3} + {11^3}\\ = ({1^3} + {9^3}) + ({3^3} + {7^3}) + {5^3} + {11^3}\\ = (1 + 9)({1^2} - 9 + {9^2}) + (3 + 7)({3^2} - 3.7 + {7^2}) + {5^3} + {11^3}\\ = 10({1^2} - 9 + {9^2}) + 10({3^2} - 3.7 + {7^2}) + {5^3} + {11^3}\end{array}$

Ta có:

$10 \vdots 5$$\Rightarrow 10({1^2} - 9 + {9^2}) \vdots 5$; $10({3^2} - 3.7 + {7^2}) \vdots 5$

${5^3} \vdots 5$.

Mà ${11^3}$ không chia hết cho 5 nên A không chia hết cho 5.