Biết: $\sin a = \dfrac{4}{5}$ với $\dfrac{\pi}{2} \lt a \lt \pi$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Phương pháp giải:

Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, hệ thức biến đổi và xét dấu theo góc phần tư II ($\frac{\pi }{2} \lt a \lt \pi$):

${\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1 \Leftrightarrow \cos a = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}a}$ (vì trong góc phần tư II, $\cos a \lt 0$).

$\sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) = \cos a$.

$\sin 2a = 2\sin a\cos a$.

$\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$.

Lời giải chi tiết:

Vì $\frac{\pi }{2} \lt a \lt \pi$ nên $\cos a \lt 0$.

$\cos a = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}a} = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^2}} = - \frac{3}{5}$.

a) Đúng. Ta có $\sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) = \cos a = - \frac{3}{5} \lt 0$.

b) Sai. $\cos a = - \frac{3}{5}$.

c) Đúng. $\sin 2a = 2\sin a\cos a = 2.\left( {\frac{4}{5}} \right).\left( { - \frac{3}{5}} \right) = - \frac{{24}}{{25}}$.

d) Đúng. $\cos \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right) = \cos a\cos \frac{\pi }{6} - \sin a\sin \frac{\pi }{6}$

$= \left( { - \frac{3}{5}} \right) \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \left( {\frac{4}{5}} \right) \cdot \frac{1}{2} = - \frac{{4 + 3\sqrt 3 }}{{10}}$.