Biết $\lim \frac{{2{n^2} - n + 4}}{{a{n^2} + n + 3}} = 2$ và $\lim \frac{{{3^n} + {4^{n + 1}}}}{{{4^n} + 3}} = b$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng các quy tắc tìm giới hạn của dãy số.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. Ta có: $\lim \frac{{2{n^2} - n + 4}}{{a{n^2} + n + 3}} = \lim \frac{{{n^2}\left( {2 - \frac{1}{n} + \frac{4}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {a + \frac{1}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} \right)}} = \lim \frac{{2 - \frac{1}{n} + \frac{4}{{{n^2}}}}}{{a + \frac{1}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}}} = \frac{2}{a} = 2$.

Suy ra a = 1.

b) Đúng. Ta có: $\lim \frac{{{3^n} + {4^{n + 1}}}}{{{4^n} + 3}} = \lim \frac{{{3^n} + {4^n}.4}}{{{4^n} + 3}} = \lim \frac{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} + 4}}{{1 + 3.{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}}} = \frac{{0 + 4}}{{1 + 0}} = 4 = b$.

c) Sai. 1; 2; 4 không lập thành một cấp số cộng.

d) Đúng. 1; 4; 16 lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu là 1, công bội bằng 4.