Bài 4 — Dự đoán giá nhà theo diện tích: tìm đường thẳng "vừa vặn nhất" bằng cách nào?

Bạn lên một trang bất động sản, gõ diện tích căn phòng muốn thuê, và trang ấy hiện ngay "giá tham khảo: 4,2 triệu/tháng". Nó chưa từng thấy căn phòng của bạn.

Nó làm được vì đã xem hàng chục nghìn phòng khác, rồi tìm ra một quy luật nối diện tích với giá. Trong trường hợp đơn giản nhất, quy luật ấy là một đường thẳng — và việc tìm nó là một bài toán cực trị của Toán 10.

Ba bài trước, AI làm việc phân loại: từ này giống từ kia không, email này có phải spam không. Bài này là việc khác hẳn: dự đoán một con số.

Ý tưởng: đường nào "vừa" hơn đường nào?

Ba phòng trọ thật trong một khu:

Phòng	Diện tích	Giá thuê
1	$10$ m²	$1$ triệu
2	$20$ m²	$3$ triệu
3	$30$ m²	$7$ triệu

Để số cho gọn, ta đo diện tích bằng chục m², nên ba điểm là $(1;1)$, $(2;3)$, $(3;7)$.

Ba điểm này không thẳng hàng — thử nối lại mà xem. Nghĩa là không có đường thẳng nào đi qua cả ba. Vậy ta đi tìm đường gần đúng nhất.

Vì phòng $0$ m² thì giá $0$ đồng, ta chọn đường thẳng đi qua gốc toạ độ:

Chỉ còn một ẩn: hệ số $a$, tức "giá mỗi chục m²". Câu hỏi thành: $a$ bằng bao nhiêu thì đường thẳng vừa nhất?

Làm sao đo được "vừa"?

Với mỗi phòng, đường thẳng dự đoán một giá; giá thật thì khác. Chênh lệch ấy gọi là sai số.

Nếu chọn thử $a = 2$:

Phòng	$x$	Giá thật	Dự đoán $2x$	Sai số
1	$1$	$1$	$2$	$1 - 2 = -1$
2	$2$	$3$	$4$	$3 - 4 = -1$
3	$3$	$7$	$6$	$7 - 6 = +1$

Không cộng thẳng các sai số được: $-1 - 1 + 1 = -1$, nghe như đường thẳng gần hoàn hảo, trong khi thực ra nó lệch cả ba phòng. Sai số âm và dương triệt tiêu nhau — đúng cái bẫy mà học sinh hay gặp khi tính "sai số trung bình".

Cách chữa quen thuộc trong toán: bình phương trước khi cộng. Bình phương luôn không âm nên không triệt tiêu được, và nó phạt nặng những sai số lớn.

Tổng bình phương sai số ấy được gọi là hàm mất mát (loss function):

Trực quan hoá

Hình bên trái: ba điểm dữ liệu, đường thẳng, và các đoạn nét đứt đỏ là sai số.

Hình bên phải: giá trị $L(a)$ khi $a$ thay đổi. Và đây là chỗ thú vị nhất của cả bài — nó là một parabol.

Giải bài toán mẫu

Bước 1 — Khai triển $L(a)$. Bung từng bình phương:

Cộng lại:

Đây là hàm số bậc hai với $a' = 14 > 0$, nên parabol quay bề lõm lên trên và có giá trị nhỏ nhất tại đỉnh.

Bước 2 — Tìm đỉnh parabol. Công thức hoành độ đỉnh của Toán 10:

Bước 3 — Tính giá trị nhỏ nhất:

Kết luận. Đường thẳng vừa nhất là $y = 2x$: mỗi chục m² đáng giá khoảng 2 triệu đồng/tháng. Sai số tổng bình phương nhỏ nhất có thể đạt được là $3$.

Kiểm lại bằng cách thử hai giá trị khác:

Cả hai đều lớn hơn $3$ — đúng như một đỉnh cực tiểu phải thế. Và chúng bằng nhau vì $1$ và $3$ cách đều đỉnh $a=2$, đúng tính đối xứng của parabol.

Dùng kết quả: một phòng $25$ m² thì $x = 2{,}5$, dự đoán $y = 2 \times 2{,}5 = 5$ triệu/tháng.

Vì sao luôn ra parabol — và vì sao điều đó quan trọng

Không phải may mắn. Mỗi sai số là một biểu thức bậc nhất theo $a$; bình phương lên thành bậc hai; cộng nhiều bậc hai vẫn là bậc hai. Nên với mô hình đường thẳng và hàm mất mát bình phương, $L(a)$ luôn luôn là parabol quay lên.

Hệ quả rất lớn: parabol chỉ có đúng một điểm thấp nhất. Không có "đáy giả" nào để máy mắc kẹt. Tìm được đỉnh là tìm được lời giải tốt nhất, chắc chắn.

Mô hình thật thì có hàng triệu tham số thay vì một, và mặt mất mát của chúng gồ ghề như một dãy núi với vô số hố. Nhưng ý tưởng thì y nguyên: viết ra một hàm đo mức sai, rồi đi tìm điểm thấp nhất của nó.

Cách đi tìm điểm thấp nhất khi không giải được bằng công thức đỉnh — đó là nội dung của Bài 5.

Thử thách tự tính

Một quán trà sữa ghi lại số ly bán được theo số giờ mở cửa:

Ngày	Số giờ mở $x$	Số ly bán $y$
1	$1$	$4$
2	$2$	$3$
3	$3$	$6$

Chủ quán muốn tìm $a$ trong mô hình $y = ax$ (mở $0$ giờ thì bán $0$ ly).

Câu hỏi 1. Viết $L(a)$ dưới dạng khai triển $a'a^2 + ba + c$.

Câu hỏi 2. Tìm $a$ làm $L(a)$ nhỏ nhất, và tính $L$ tại đó.

Câu hỏi 3. Tính $L(1)$ và $L(3)$ để kiểm rằng chúng đều lớn hơn giá trị ở câu 2.

Câu hỏi 4. Dự đoán số ly bán được nếu mở cửa $5$ giờ.

Đáp án

Câu 1.

Câu 2. $a = \dfrac{56}{2\times14} = 2$. Và $L(2) = 56 - 112 + 61 = 5$.

Câu 3. $L(1) = 14 - 56 + 61 = 19$; $L(3) = 126 - 168 + 61 = 19$. Cả hai đều lớn hơn $5$ ✓ và bằng nhau vì đối xứng qua đỉnh.

Câu 4. $y = 2 \times 5 = 10$ ly.

Chú ý thú vị: bộ số liệu này khác bài mẫu nhưng cho cùng hệ số $a = 2$, chỉ khác hằng số tự do (61 thay vì 59) nên sai số tối thiểu lớn hơn ($5$ thay vì $3$). Hằng số ấy đo mức "dữ liệu lệch khỏi đường thẳng bao nhiêu", chứ không ảnh hưởng tới việc chọn $a$.

Lời kết

Câu "AI học từ dữ liệu" nghe rất mơ hồ, nhưng khi mổ ra thì nó có nghĩa hoàn toàn cụ thể: viết một hàm số đo mức sai, rồi tìm điểm cực tiểu của hàm ấy. Không có gì khác.

Và bài toán tìm cực tiểu của một parabol thì bạn đã làm từ lớp 10, thường dưới dạng "tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai". Cùng một công thức $\dfrac{-b}{2a}$, chỉ khác câu chuyện bọc quanh nó.

Nhưng có một chỗ bài này chưa trả lời: khi mô hình có hàng triệu tham số chứ không phải một, không ai giải được công thức đỉnh nữa. Lúc ấy máy làm gì? Nó dò — từng bước một, lần theo độ dốc. Và độ dốc thì có tên khác trong Toán 11: đạo hàm.

---

Muốn luyện chắc phần hàm số bậc hai và cực trị của parabol, thầy cô và các bạn có thể dựng bộ đề riêng trên Grade: chấm tự động ngay khi nộp kèm lời giải chi tiết từng câu. Dùng thử miễn phí tại đây.

---