Toán — THPT Chuyên Vĩnh Phúc, Vĩnh Phúc (khảo sát tốt nghiệp THPT 2025)

Câu 1.

Giải bóng đá Ngoại hạng Anh năm 2024 có 20 đội tham gia thi đấu. Cứ 2 đội thì phải đấu với nhau 2 trận (lượt đi và lượt về). Hỏi giải Ngoại hạng Anh có tất cả bao nhiêu trận đấu?

A.
$A_{20}^2$ .
B.
$C_{20}^2$ .
C.
$20!$ .
D.
$40$ .

Câu 2.

Nghiệm của phương trình $\cos x = -\frac{1}{2}$ là

A.
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi \ (k \in \mathbb{Z})$ .
B.
$x = \pm \frac{\pi}{6} + k2\pi \ (k \in \mathbb{Z})$ .
C.
$x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \ (k \in \mathbb{Z})$ .
D.
$x = \pm \frac{\pi}{6} + k2\pi \ (k \in \mathbb{Z})$ .

Câu 3.

Cho các số thực dương $a, b$ thỏa mãn $\log_2 a = x, \log_2 b = y$ . Tính $P = \log_2 \left(a^2 b^3\right)$ .

A.
$P = 6xy$ .
B.
$P = 2x + 3y$ .
C.
$P = x^2 y^3$ .
D.
$P = x^2 + y^3$ .

Câu 4.

Trong mặt phẳng $Oxy$ , cho elip có phương trình $\frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{16} = 1$ . Độ dài trục nhỏ của đường elip bằng bao nhiêu?

A.
7.
B.
4.
C.
5.
D.
8.

Câu 5.

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị như hình bên dưới. Gọi $M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[1;3]$ . Giá trị của $M + m$ bằng bao nhiêu?

A.
$M+m=2$ .
B.
$M+m=-4$ .
C.
$M+m=-3$ .
D.
$M+m=1$ .

Câu 6.

Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ có bảng biến thiên như sau

$x$	$-\infty$		$-1$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$		$+$
$f(x)$	$2$		$+\infty$		$-2$

Đồ thị hàm số $y = f(x)$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận ngang?

A.
2
B.
3
C.
1
D.
0

Câu 7.

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(-2;3;5)$ . Tọa độ của véctơ $\overrightarrow{OA}$ là

A.
$(-2;3;5)$ .
B.
$(2;-3;5)$ .
C.
$(-2;-3;5)$ .
D.
$(2;-3;-5)$ .

Câu 8.

Cho bảng tần số ghép nhóm số liệu thống kê chiều cao của 40 mẫu cây ở một vườn thực vật (đơn vị: centimét).

Nhóm	$[30;40)$	$[40;50)$	$[50;60)$	$[60;70)$	$[70;80)$	$[80;90)$
Tần số	4	10	14	6	4	2

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu thuộc nhóm nào dưới đây?

A.
$[70;80)$ .
B.
$[50;60)$ .
C.
$[60;70)$ .
D.
$[40;50)$ .

Câu 9.

Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(1;0;-2)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1;-1;2)$ có phương trình là

A.
$(P): x-y+2z+3=0$ .
B.
$(P): x+y+2z+3=0$ .
C.
$(P): x-y-2z+3=0$ .
D.
$(P): x-y+2z-3=0$ .

Câu 10.

Trong không gian $Oxyz$ , mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;0;-2)$ , bán kính $R=4$ có phương trình là

A.
$(x+1)^2 + y^2 + (z-2)^2 = 4$ .
B.
$(x+1)^2 + y^2 + (z-2)^2 = 16$ .
C.
$(x-1)^2 + y^2 + (z+2)^2 = 4$ .
D.
$(x-1)^2 + y^2 + (z+2)^2 = 16$ .

Câu 11.

Mỗi ngày Thầy Hùng đều đi bộ để rèn luyện sức khoẻ. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: $km$ ) của thầy Hùng trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau:

Quãng đường (km)	[2,7;3,0)	[3,0;3,3)	[3,3;3,6)	[3,6;3,9)	[3,9;4,2)
Tần số	3	6	5	4	2

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

A.
3,39.
B.
11,62.
C.
0,1314.
D.
0,36.

Câu 12.

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $M(-1;-1;2)$ và $N(1;3;4)$ . Đường thẳng $MN$ có phương trình chính tắc là

A.
$\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{4} = \frac{z+2}{2}$ .
B.
$\frac{x+1}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-2}{1}$ .
C.
$\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+2}{1}$ .
D.
$\frac{x+1}{2} = \frac{y+3}{4} = \frac{z+4}{2}$ .

Câu 13.

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh đáy bằng $2a$ , cạnh bên $AA' = a$ . Trong mặt phẳng $(A'B'C')$ , kẻ $A'H \perp B'C'$ tại $H$ .

A)
Đường thẳng $B'C'$ vuông góc với mặt phẳng $(AA'H)$
☐ Đúng ☐ Sai
B)
Hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(AA'H)$ vuông góc.
☐ Đúng ☐ Sai
C)
Khoảng cách từ điểm $A'$ đến mặt phẳng $(AB'C')$ bằng $a\sqrt{3}$ .
☐ Đúng ☐ Sai
D)
Thể tích khối tứ diện $BCB'A'$ là $a^3\sqrt{3}$ .
☐ Đúng ☐ Sai

Câu 14.

Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$ .

A)
Ta có $\int f(x)dx = \int \frac{1}{4} \left( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} \right) dx$ .
☐ Đúng ☐ Sai
B)
Gọi $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ . Giả sử $F(3) = -\frac{1}{4} \ln 5$ , khi đó $\int_3^4 f(x) dx = \frac{1}{4} \ln \left| \frac{x-2}{x+2} \right| + 1$ .
☐ Đúng ☐ Sai
C)
$\int_3^4 f(x) dx = \frac{1}{4} \ln \frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a, b \in \mathbb{N}$ . Ta có: $ab = 15$ .
☐ Đúng ☐ Sai
D)
$\int_3^4 \left[ f(x) + \frac{f'(x)}{f^2(x)} \right] dx = \frac{1}{4} \ln \frac{5}{3} + 7$ .
☐ Đúng ☐ Sai

Câu 15.

Trong không gian $Oxyz$ , cho $M(1; -3; 4)$ , đường thẳng $d: \frac{x}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z-1}{2}$ và mặt phẳng $(P): x + 2y - 2z + 2 = 0$ .

A)
Đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(P)$ .
☐ Đúng ☐ Sai
B)
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình tham số là
$\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - 3t \\ z = 2 + 4t \end{cases}$ .
☐ Đúng ☐ Sai
C)
Gọi $\alpha$ là góc giữa $d$ và mặt phẳng $(P)$ khi đó $\sin \alpha = \frac{5\sqrt{6}}{18}$ .
☐ Đúng ☐ Sai
D)
Hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d$ lên mặt phẳng $(P)$ có phương trình
$d': \frac{x}{14} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{8}$ .
☐ Đúng ☐ Sai

Câu 16.

Một kho hàng có $85\%$ sản phẩm loại I và $15\%$ sản phẩm loại II, trong đó có $1\%$ sản phẩm loại I bị hỏng, $4\%$ sản phẩm loại II bị hỏng. Các sản phẩm có kích thước và hình dạng như nhau. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Xét các biến cố:

$A$ : “Khách hàng chọn được sản phẩm loại I”, $B$ : “Khách hàng chọn được sản phẩm không bị hỏng”.

A)
$P(A) = 0{,}85$ .
☐ Đúng ☐ Sai
B)
$P(B|A) = 0{,}99$ .
☐ Đúng ☐ Sai
C)
$P(B) = 0{,}9855$ .
☐ Đúng ☐ Sai
D)
$P(A|B) = 0{,}95$ .
☐ Đúng ☐ Sai

Câu 17. Cho hàm số

y = f(x)

là hàm đa thức bậc bốn, có đồ thị hàm số

y = f'(x)

như hình vẽ.Hàm số

y = f(5 - 2x) + 4x^2 - 10x

có bao nhiêu điểm cực tiểu?Đáp án:

Câu 18. Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp

AB

trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ tọa độ

Oxyz

như hình vẽ dưới với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng

1m

. Tìm được tọa độ của vectơ

\overrightarrow{AB} = (a; b; c)

. Tính

a + c

.Đáp án:

Câu 19. Nhân dịp dã ngoại, lớp 12A dự kiến dựng một cái trại có dạng hình parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 5 mét, đỉnh trại cách nền 3 mét. Thể tích phần không gian bên trong lều trại bằng bao nhiêu mét khối?Đáp án:

Câu 20. Trong một trường học, tỉ lệ học sinh nữ là

48\%

. Tỉ lệ học sinh nữ và tỉ lệ học sinh nam tham gia câu lạc bộ nghệ thuật lần lượt là

18\%

và

15\%

. Gặp ngẫu nhiên một học sinh của trường. Biết rằng học sinh có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật. Tính xác suất học sinh đó là nam (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm).Đáp án: