Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho điểm $A\left( {2;3} \right)$ và đường thẳng $d:2x + y - 4 = 0$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. $\overrightarrow u \left( {2;1} \right)$ là một vecto pháp tuyến của d.

b) Sai. $d(A,d) = \frac{{|2.2 + 3 - 4|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt 5 }}$.

c) Sai. Đường thẳng d’ song song với d có dạng 2x + y + c = 0 $(c \ne 4)$.

A(2; 3) thuộc d’ nên thay tọa độ điểm A vào phương trình d’:

$2.2 + 3 + c = 0 \Rightarrow c = - 7$.

Vậy d’: 2x + y – 7 = 0.

d) Đúng. VTPT của $d$ là ${\vec n_d} = \left( {2;1} \right)$.

Đường thẳng ${\rm{\Delta }}$ có VTCP ${\vec u_{\rm{\Delta }}} = \left( {1;3} \right) \Rightarrow$ VTPT ${\vec n_{\rm{\Delta }}} = \left( {3; - 1} \right)$.

$\cos \left( {\Delta ,d} \right) = \frac{{|2.3 + 1.( - 1)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{3^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

$\Rightarrow \left( {\Delta ,d} \right) = {45^o}$.