Trong không gian xét hệ tọa độ Oxyz có một đơn vị dài trên các trục tương ứng với 10 mét trên thực tế. Một mục tiêu cần được bảo vệ có vị trí ở gốc tọa độ O. Người ta thiết lập một vành đai bảo vệ quanh mục tiêu theo một đường tròn tâm O có bán kính bằng 6 đơn vị (tương ứng 60 mét trên thực tế) nằm trong mặt phẳng (Oxy). Một máy bay không người lái (được coi như một hạt) bay theo một đường thẳng từ vị trí M(2; 11; 3) đến vị trí N(14; 2; 3). Tại mỗi vị trí của máy bay, khoảng cách từ máy bay đến vành đai bảo vệ là độ dài ngắn nhất của các đoạn thẳng nối từ vị trí đó đến một điểm bất kì trên vành đai.

$\overset{\rightarrow}{MN} = (12; - 9;0)$ . · Trong quá trình bay từ M đến N, khoảng cách từ máy bay đến vành đai bảo vệ là ngắn nhất khi máy bay ở vị trí có tọa độ là (6; 8; 3).

Trong không gian xét hệ tọa độ Oxyz có một đơn vị dài trên các trục tương ứng với 10 mét trên thực tế. Một mục tiêu cần…

1Đúng/Sai nhiều ý · Vận dụng
Trong không gian xét hệ tọa độ Oxyz có một đơn vị dài trên các trục tương ứng với 10 mét trên thực tế. Một mục tiêu cần được bảo vệ có vị trí ở gốc tọa độ O. Người ta thiết lập một vành đai bảo vệ quanh mục tiêu theo một đường tròn tâm O có bán kính bằng 6 đơn vị (tương ứng 60 mét trên thực tế) nằm trong mặt phẳng (Oxy). Một máy bay không người lái (được coi như một hạt) bay theo một đường thẳng từ vị trí M(2; 11; 3) đến vị trí N(14; 2; 3). Tại mỗi vị trí của máy bay, khoảng cách từ máy bay đến vành đai bảo vệ là độ dài ngắn nhất của các đoạn thẳng nối từ vị trí đó đến một điểm bất kì trên vành đai.
a
$\overset{\rightarrow}{MN} = (12; - 9;0)$ .
b
Phương trình tham số của đường thẳng MN là $\left\{ \begin{array}{l} {x = 2 + 4t} \\ {y = 11 - 3t} \\ {z = 0} \end{array} \right.$ với $t \in {\mathbb{R}}$ .
c
Trong quá trình bay từ M đến N, khoảng cách ngắn nhất từ máy bay đến vành đai bảo vệ là 100 mét.
d
Trong quá trình bay từ M đến N, khoảng cách từ máy bay đến vành đai bảo vệ là ngắn nhất khi máy bay ở vị trí có tọa độ là (6; 8; 3).
Đáp án đúng: $\overset{\rightarrow}{MN} = (12; - 9;0)$. · Trong quá trình bay từ M đến N, khoảng cách từ máy bay đến vành đai bảo vệ là ngắn nhất khi máy bay ở vị trí có tọa độ là (6; 8; 3).
Phương pháp giải:
Áp dụng phương pháp tọa độ trong không gian.
Lời giải chi tiết:
a) Đúng. $\overset{\rightarrow}{MN} = (14 - 2;2 - 11;3 - 3) = (12; - 9;0)$ .
b) Sai. Đường thẳng MN đi qua M(2; 11; 3), nhận $\overset{\rightarrow}{u} = \dfrac{1}{3}\overset{\rightarrow}{MN} = (4; - 3;0)$ làm VTCP nên có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l} {x = 2 + 4t} \\ {y = 11 - 3t} \\ {z = 3} \end{array} \right.$ với $t \in {\mathbb{R}}$ .
c) Sai. Gọi $P(2 + 4t;11 - 3t;3)$ là vị trí của máy bay tại thời điểm t ( $t \in \lbrack 0;3\rbrack$ ). Q là một điểm bất kì trên vành đai. Hình chiếu của $P$ lên $(Oxy)$ là $P'(2 + 4t;11 - 3t;0)$ .
Tam giác PP’Q vuông tại P’, PP’ = 3 và PQ ngắn nhất khi P’Q ngắn nhất, hay OP’ ngắn nhất.
$O{P'}^{2} = {(2 + 4t)}^{2} + {(11 - 3t)}^{2} = 25{(t - 1)}^{2} + 100$ .
Vì $t \in \lbrack 0;3\rbrack$ nên $\left. 25{(t - 1)}^{2} \geq 0\Rightarrow O{P'}^{2} \geq 100\Rightarrow OP' \geq 10 \right.$ .
Giá trị nhỏ nhất của OP' là 10 đạt được khi t = 1.
Khi đó, khoảng cách ngắn nhất từ máy bay đến vành đai trên hệ tọa độ là:
$PQ_{\min} = \sqrt{9 + {(10 - 6)}^{2}} = \sqrt{9 + 16} = 5$ (đơn vị).
d) Đúng. Từ câu c), khoảng cách ngắn nhất đạt được khi tham số t = 1.
Thay t = 1 vào phương trình đường thẳng MN, ta được tọa độ của máy bay:
$\left. \left\{ \begin{array}{l} {x = 2 + 4(1) = 6} \\ {y = 11 - 3(1) = 8} \\ {z = 3} \end{array} \right.\Rightarrow P(6;8;3) \right.$ .
Báo lỗi

Câu này thuộc đềĐề thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2026 - Mã 102