Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(3; -4; 1), B(1; 1; -1) và C(2; 0; -3). Khi đó

Biết rằng điểm I thoả mãn điều kiện $\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} - 2\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ . Cao độ của điểm I bằng 2. · Xét M là điểm thay đổi trên mặt phẳng (Oxy). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = MA^2 + 3MB^2 - 2MC^2$ bằng $\frac{13}{2}$ .

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(3; -4; 1),…

Phương pháp giải:

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. Hình chiếu của A(3; -4; 1) lên mặt phẳng (Oxy) là điểm có tọa độ (3; -4; 0).

b) Sai. Tọa độ trọng tâm G là $(\frac{3+1+2}{3}; \frac{-4+1+0}{3}; \frac{1-1-3}{3}) = (2; -1; -1)$ .

c) Đúng. Gọi $I(x; y; z)$ . Từ $\vec{IA} + 3\vec{IB} - 2\vec{IC} = \vec{0}$ , ta có cao độ $z_I$ :

$1(1 - z_I) + 3(-1 - z_I) - 2(-3 - z_I) = 0$

$\Leftrightarrow 1 - z_I - 3 - 3z_I + 6 + 2z_I = 0$

$\Leftrightarrow -2z_I + 4 = 0 \Rightarrow z_I = 2$ .

d) Đúng. Giải tương tự câu c) đối với hoành độ và tung độ, suy ra $I(1; -\frac{1}{2}; 2)$ .

Chèn điểm I vào biểu thức: $S = 2MI^2 + (IA^2 + 3IB^2 - 2IC^2)$ .

Ta có: $IA^2 = \frac{69}{4}$ ; $IB^2 = \frac{45}{4}$ ; $IC^2 = \frac{105}{4}$ .

Suy ra $IA^2 + 3IB^2 - 2IC^2 = \frac{69}{4} + 3(\frac{45}{4}) - 2(\frac{105}{4}) = -\frac{3}{2}$ .

Biểu thức trở thành: $S = 2MI^2 - \frac{3}{2}$ .

S nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, tức M là hình chiếu của $I(1; -\frac{1}{2}; 2)$ lên mặt phẳng (Oxy).

Khi đó $M(1; -\frac{1}{2}; 0)$ , suy ra $MI^2 = (2-0)^2 = 4$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất $S = 2.4 - \frac{3}{2} = \frac{13}{2}$ .