Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tâm I(-2;1;5), bán kính bằng 3. Cho các điểm A(10;1;2), B(0;1;4), C(0;3;4).

Phương pháp giải:

a) Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I(-2;1;5), bán kính bằng 3.

b) Tính IA và so sánh với bán kính mặt cầu.

c) Tính IB, nhận xét vị trí của A, B so với mặt cầu rồi kết luận.

d) Vậy (S) cắt mặt phẳng (ABC) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính $\sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I,(ABC)} \right)}$.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. Phương trình mặt cầu (S) tâm I(-2;1;5), bán kính bằng 3 là:

${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = {3^2} \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 9$.

b) Đúng. $IA = \sqrt {{{\left( {10 + 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 5} \right)}^2}} = 3\sqrt {17} \gt 3$ nên điểm A nằm ngoài mặt cầu.

c) Đúng. $IB = \sqrt {{{\left( {0 + 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 5} \right)}^2}} = \sqrt 5 \lt 3$ nên điểm B nằm trong mặt cầu.

Vì A nằm ngoài mặt cầu, B nằm trong mặt cầu nên đường thẳng AB cắt mặt cầu (S).

d) Sai. Ta có $\overrightarrow {AB} = ( - 10;0;2)$, $\overrightarrow {AC} = ( - 10;2;2)$.

Mặt phẳng (ABC) có vecto pháp tuyến là:

$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&2\\2&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&{ - 10}\\2&{ - 10}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 10}&0\\{ - 10}&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 4;0; - 20} \right)$.

Phương trình mặt phẳng (ABC) là $- 4\left( {x - 0} \right) + 0\left( {y - 1} \right) - 20\left( {z - 4} \right) = 0$

$\Leftrightarrow - 4x - 20z + 80 = 0 \Leftrightarrow x + 5z - 20 = 0$.

Ta có $d\left( {I,(ABC)} \right) = \frac{{\left| {1.( - 2) + 0.1 + 5.5 - 20} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {5^2}} }} = \frac{{3\sqrt {26} }}{{26}}$.

Vậy (S) cắt mặt phẳng (ABC) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính:

$\sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I,(ABC)} \right)} = \sqrt {9 - \frac{9}{{26}}} = \frac{{15\sqrt {26} }}{{26}}$.