Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho với A(1;-3;3), B(2;-4;5), C(3;-2;1).

Phương pháp giải:

a, b, c) Sử dụng các biểu thức tọa độ trong không gian.

d) Ứng dụng tọa độ điểm I vừa tìm ở câu c).

Lời giải chi tiết:

a) Sai. $\overrightarrow {AB} = (2 - 1; - 4 + 3;5 - 3) = (1; - 1;2)$.

b) Đúng. $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{1 + 2 + 3}}{3} = 2\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{ - 3 - 4 - 2}}{3} = - 3\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{{3 + 5 + 1}}{3} = 3\end{array} \right. \Rightarrow G(2; - 3;3)$

$\Rightarrow a + b + c = 2 - 3 + 3 = 2$.

c) Đúng. Ta có:

$\overrightarrow {IA} = (1 - x;-3 - y;3 - z)$, $\overrightarrow {IB} = (2 - x; - 4 - y;5 - z)$, $\overrightarrow {IC} = (3 - x; - 2 - y;1 - z)$.

$2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}13 - 6x = 0\\ - 16 - 6y = 0\\14 - 6z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{13}}{6}\\y = \frac{{ - 8}}{3}\\z = \frac{7}{3}\end{array} \right. \Rightarrow 2x + y + z = 4$.

d) Sai. Gọi điểm I thỏa mãn $2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0$, theo câu c) ta có $I\left( {\frac{{13}}{6};\frac{{ - 8}}{3};\frac{7}{3}} \right)$.

Ta có: $- P = 2M{A^2} + M{B^2} + 3M{C^2} = 2{\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + 3{\overrightarrow {MC} ^2}$

$= 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}$

$= 2\left( {{{\overrightarrow {MI} }^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + {{\overrightarrow {IA} }^2}} \right) + \left( {{{\overrightarrow {MI} }^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + {{\overrightarrow {IB} }^2}} \right) + 3\left( {{{\overrightarrow {MI} }^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IC} + {{\overrightarrow {IC} }^2}} \right)$

$= 2{\overrightarrow {MI} ^2} + 4\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + 2{\overrightarrow {IA} ^2} + {\overrightarrow {MI} ^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + {\overrightarrow {IB} ^2} + 3{\overrightarrow {MI} ^2} + 6\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IC} + 3{\overrightarrow {IC} ^2}$

$= 6{\overrightarrow {MI} ^2} + 2{\overrightarrow {IA} ^2} + {\overrightarrow {IB} ^2} + 3{\overrightarrow {IC} ^2} + 4\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + 6\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IC}$

$= 6M{I^2} + 2I{A^2} + I{B^2} + 3I{C^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} } \right)$

$= 6M{I^2} + 2I{A^2} + I{B^2} + 3I{C^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow 0$

$= 6M{I^2} + 2I{A^2} + I{B^2} + 3I{C^2}$.

Suy ra $P = - 6M{I^2} - 2I{A^2} - I{B^2} - 3I{C^2}$.

Do giá trị của $- 2I{A^2} - I{B^2} - 3I{C^2}$ không đổi nên P đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $M{I^2}$ nhỏ nhất, hay MI nhỏ nhất.

Vì M nằm trên mặt phẳng (Oyz) nên IM nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (Oyz).

Khi đó, $M\left( {0;\frac{{ - 8}}{3};\frac{7}{3}} \right) \Rightarrow x + y - z = - 5$.