Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;0;−2), B(−2;3;4), C(4;−6;1).

Phương pháp giải:

a) Áp dụng công thức tính tọa độ vecto $\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A})$.

b) Hình chiếu vuông góc của điểm A(a;b;c) lên trục Ox là A’(a;0;0).

c) Áp dụng công thức tính tích vô hướng cho hai vecto vuông góc.

d) Áp dụng quy tắc về hai vecto bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. $\overrightarrow {AB} = ( - 2 - 1;3 - 0;4 + 2) = ( - 3;3;6)$.

b) Sai. Hình chiếu vuông góc của B lên trục Ox là B’(-2;0;0).

c) Sai. $M \in Ox \Rightarrow M(x;0;0)$.

$\overrightarrow {BM} = (x + 2; - 3; - 4)$, $\overrightarrow {CM} = (x - 4;6; - 1)$.

$\Delta MBC$ vuông tại M suy ra $\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {CM} = 0 \Leftrightarrow (x + 2)(x - 4) + ( - 3).6 + ( - 4).( - 1) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 22 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt {23} \\x = 1 - \sqrt {23} \end{array} \right.$.

Vậy có hai điểm M thỏa mãn là ${M_1}(1 + \sqrt {23} ;0;0)$ và ${M_2}(1 - \sqrt {23} ;0;0)$.

d) Đúng. $\overrightarrow {BD} = ({x_D} + 2;{y_D} - 3;{z_D} - 4)$, $\overrightarrow {AC} = (3; - 6;3)$.

ABDC là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} + 2 = 3\\{y_D} - 3 = - 6\\{z_D} - 4 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 1\\{y_D} = - 3\\{z_D} = 7\end{array} \right.$.

Vậy D(1;-3;7).