Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho ba vectơ $\vec{a} = (-2; 1; 1)$ , $\vec{b} = (2; -1; 1)$ , $\vec{c} = (x;…

Phương pháp giải:

a) $\overrightarrow a = (x;y;z) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}}$.

b) Cho $\overrightarrow a ({x_a};{y_a};{z_a})$, $\overrightarrow b ({x_b};{y_b};{z_b})$ và số thực k.

+ $\overrightarrow a + \overrightarrow b = ({x_a} + {x_b};{y_a} + {y_b};{z_a} + {z_b})$.

+ $\overrightarrow a - \overrightarrow b = ({x_a} - {x_b};{y_a} - {y_b};{z_a} - {z_b})$.

+ $k\overrightarrow a = (k{x_a};k{y_a};k{z_a})$.

c) Nếu $\overrightarrow a$ cùng phương với $\overrightarrow b$ thì $\overrightarrow a = k\overrightarrow b$.

d) $\cos \alpha = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{{x_a}.{x_b} + {y_a}.{y_b} + {z_a}.{z_b}}}{{\sqrt {{x_a}^2 + {y_a}^2 + {z_a}^2} .\sqrt {{x_b}^2 + {y_b}^2 + {z_b}^2} }}$.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 6$.

b) Sai. $\overrightarrow u = \left( { - 2.( - 2) + 3.2; - 2.1 + 3.( - 1); - 2.1 + 3.1} \right) = \left( {10; - 5;1} \right)$.

c) Sai. $\overrightarrow c$ cùng phương với $\overrightarrow b$ khi $\overrightarrow c = k\overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2k\\1 = - k\\y = k\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = - 1\\x = - 2\\y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow x + y = - 3$.

d) Đúng. $\cos \varphi = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 2.2 + 1.( - 1) + 1.1}}{{\sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} }} = - \frac{2}{3}$.