Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;0;-2), B(-2;3;4), C(4;-6;1).

Phương pháp giải:

Sử dụng các quy tắc cộng, trừ vecto, nhân vecto với một số, tọa độ trọng tâm.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{1 - 2 + 4}}{3} = 1\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{0 + 3 - 6}}{3} = - 1\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{{ - 2 + 4 + 1}}{3} = 1\end{array} \right.$, vậy G$\left( {1; - 1;1} \right)$.

b) Sai. $\overrightarrow {AB} = ( - 2 - 1;3 - 0;4 + 2) = ( - 3;3;6)$, $\overrightarrow {AC} = (4 - 1; - 6 - 0;1 + 2) = (3; - 6;3)$.

c) Đúng. $AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{( - 3)}^2} + {3^2} + {6^2}} = 3\sqrt 6$, $AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{3^2} + {{( - 6)}^2} + {3^2}} = 3\sqrt 6$ suy ra AB = AC.

Vậy tam giác ABC cân tại A.

d) Sai. Vì ABDC là hình bình hành nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow ( - 3;3;6) = ({x_D} - 4;{y_D} + 6;{z_D} - 1)$.

Suy ra $({x_D};{y_D};{z_D}) = (1; - 3;7)$. Vậy D(1;-3;7).