Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(3; -2; -1), N(4; 3; 1) và mặt phẳng (P): z = - 5. Mặt cầu (S) đi qua M, N và luôn…

Phương pháp giải:

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán trong không gian.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Đường thẳng MN đi qua M(3; -2; -1), nhận $\overrightarrow {MN} = (1;5;2)$ làm VTCP có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = - 2 + 5t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.$.

b) Đúng. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = - 2 + 5t\\ - 5 = - 1 + 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 2\\x = 1\\y = - 12\end{array} \right.$. Vậy E(1; -12; -5).

c) Sai. $\overrightarrow {ME} = ( - 2; - 10; - 4) = - 2\overrightarrow {MN}$ nên M nằm giữa N và E.

Hai tam giác EMA và EAN đồng dạng (g.g) nên $E{A^2} = EM.EN$.

Vì N, M, E là các điểm cố định nên $E{A^2} = EM.EN$ không đổi.

Vì E cố định và độ dài EA không đổi nên A thuộc đường tròn tâm E, bán kính EA.

$EM = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 10)}^2} + {{( - 4)}^2}} = 2\sqrt {30}$, $EN = \sqrt {{{(4 - 1)}^2} + {{(3 + 12)}^2} + {{(1 + 5)}^2}} = 3\sqrt {30}$.

$E{A^2} = EM.EN = 2\sqrt {30} .3\sqrt {30} = 180 \Rightarrow EA = 6\sqrt 5 \approx 13,42$.

d) Đúng. Gọi H là hình chiếu của O lên (P). Khi đó H(0; 0; -5).

Xét tam giác OAH vuông tại H: $O{A^2} = O{H^2} + H{A^2} = {5^2} + H{A^2}$.

Để OA lớn nhất thì HA lớn nhất. Khi đó, xét trên (P):

$H{A_{\max }} = HE + EA =$

$\sqrt {{{(1 - 0)}^2} + {{( - 12 - 0)}^2} + {{( - 5 + 5)}^2}} + 6\sqrt 5$

$= \sqrt {145} + 6\sqrt 5$.

Vậy $OA = \sqrt {{5^2} + {{\left( {\sqrt {145} + 6\sqrt 5 } \right)}^2}} \approx 25,9$.