Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3; 1; 9), đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} {x = t} \\ {y = - 1 - t} \\ {z = 2…

Phương pháp giải:

a) Mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 có một vecto pháp tuyến có tọa độ (A;B;C).

b, c) Thay tọa độ điểm M vào phương trình d, nếu có giá trị t thỏa mãn hệ thì M thuộc d.

d) Gọi $N$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng $d$. Biểu diễn tọa độ $\overrightarrow{MN}$ theo t.

Vì $\Delta \parallel (\alpha)$ nên tích vô hướng của VTCP của $\Delta$ và VTPT của (\alpha\) bằng 0. Từ đó giải ra t và lập phương trình đường thẳng $\Delta$.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n} = (1; 1; -1)$.

b) Sai. $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3 = t}\\{1 = - 1 - t}\\{9 = 2 + 2t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = 3}\\{t = - 2}\\{t = \frac{7}{2}}\end{array}} \right.$ (vô lí)

Vậy điểm $M$ không thuộc đường thẳng $d$.

c) Đúng. $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = t}\\{ - 1 - t = - 1 - t}\\{2 + 2t = 2 + 2t}\end{array}} \right.$ (luôn đúng)

Vậy điểm $A$ có tọa độ dạng $A(t; -1 - t; 2 + 2t)$ với $t \in \mathbb{R}$ thì $A$ thuộc đường thẳng $d$.

d) Đúng. Gọi $N$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng $d$. Khi đó tọa độ của $N$ có dạng $N(t; -1 - t; 2 + 2t)$.

Ta có: $\overrightarrow{MN} = (t - 3; -2 - t; -7 + 2t)$.

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n} = (1; 1; -1)$.

Vì $\Delta \parallel (\alpha)$ nên $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{n} = 0 \Leftrightarrow t - 3 - 2 - t + 7 - 2t = 0 \Leftrightarrow t = 1$.

Suy ra $N(1; -2; 4)$ và $\overrightarrow{MN} = (-2; -3; -5)$.

Vậy đường thẳng $\Delta$ đi qua $N(1; -2; 4)$ và có một vecto chỉ phương là $(2; 3; 5)$ nên phương trình đường thẳng $\Delta$ là $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 4}{5}$.