Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; -1; 2) và mặt phẳng (P): 3x - 2y + z + 4 = 0. Khi đó:

Phương pháp giải:

Mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0 có một vecto pháp tuyến là $\vec n = (a;b;c)$.

Điểm M thuộc (P) nếu thay tọa độ điểm M vào phương trình (P) thấy thỏa mãn.

Mặt phẳng song song với (P) có phương trình dạng ax + by + cz + d’ = 0.

Khoảng cách từ M đến (P): $d\left( {M,(P)} \right) = \frac{{\left| {a{x_M} + b{y_M} + c{z_M} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec n = (3; - 2;1)$.

b) Đúng. Thay tọa độ điểm M vào phương trình của (P):

$3.1 - 2( - 1) + 2 + 4 = 11 \ne 0$, do đó M không thuộc (P).

c) Sai. (Q) // (P) nên phương trình của (Q) có dạng 3x - 2y + z + d = 0.

M thuộc (Q) nên $3.1 - 2( - 1) + 2 + d = 0 \Leftrightarrow d = - 7$.

Vậy (Q): 3x - 2y + z - 7 = 0.

d) Đúng. (R) // (P) nên phương trình của (R) có dạng 3x - 2y + z + e = 0.

$d\left( {M,(R)} \right) = \frac{{11}}{{\sqrt {14} }} \Leftrightarrow \frac{{\left| {3.1 - 2( - 1) + 2 + e} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {14} }}$

$\Leftrightarrow \left| {7 + e} \right| = 11 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}e = 4\\e = - 18\end{array} \right.$. Ta loại giá trị e = 4 vì khi đó (R) trùng (P).

Vậy (R): 3x - 2y + z - 18 = 0.