Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; -3), B(-2; 0; -1), M(2; -1; 4) và mặt phẳng (P): 3x – 2y + z + 1 = 0. Khi đó…

Phương pháp giải:

a) Mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$.

b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng, nếu thỏa mãn thì A thuộc (P).

c) Mặt phẳng đi qua ba điểm $A,B,M$ nhận vectơ ${\overrightarrow n _1} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AM} } \right]$ làm vectơ pháp tuyến.

d) Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi tích vecto pháp tuyến của chúng bằng 0.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Do $\left( P \right):3x - 2y + z + 1 = 0$ nên suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\overrightarrow n = \left( {3; - 2;1} \right)$.

b) Sai. Thay tọa độ của điểm $A$ vào phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$, ta được $3.1 - 2.2 - 3 + 1 = - 3 \ne 0 \Rightarrow A \notin \left( P \right)$.

c) Đúng. Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 2;\,2} \right),\overrightarrow {AM} = \left( {1;\, - 3;\,7} \right)$.

Mặt phẳng đi qua ba điểm $A,B,M$ nhận vectơ ${\overrightarrow n _1} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AM} } \right] = \left( { - 8;23;11} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

d) Sai. Vì $\overrightarrow n .{\overrightarrow n _1} = 3.8 - 2.( - 23) + 1.( - 11) \ne 0$ nên hai mặt phẳng $\left( {ABM} \right)$ và $\left( P \right)$ không vuông góc với nhau.