Một vận động viên điền kinh đang chạy trên một đoạn đường thẳng thì thấy một vận động viên đua xe đạp ở phía trước với…

Phương pháp giải:

Ứng dụng tích phân để giải bài toán.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. Vận tốc VĐV đua xe đạp thời điểm ban đầu: ${v_2}(0) = 12 - 12{e^{ - 0,1.0}} = 0$ (m/s).

b) Đúng. Xét đạo hàm của các hàm vận tốc:

VĐV điền kinh: ${v'_1}(t) = 8.( - 0,1){e^{ - 0,1t}} = - 0,8{e^{ - 0,1t}} \lt 0$ với mọi $t \ge 0$. Do đó, ${v_1}(t)$ nghịch biến (tốc độ giảm dần).

VĐV đua xe đạp: ${v'_2}(t) = - 12.( - 0,1){e^{ - 0,1t}} = 1,2{e^{ - 0,1t}} \gt 0$ với mọi $t \ge 0$. Do đó, ${v_2}(t)$ đồng biến (tốc độ tăng dần).

c) Sai. Khoảng cách giữa hai VĐV sau t giây là: $d(t) = \int\limits_0^t {{v_2}(u)du} - \int\limits_0^t {{v_1}(u)du} + 40$ (m).

$d'(t) = {v_2}(t) - {v_1}(t) + 40 = 12 - 12{e^{ - 0,1t}} - 8{e^{ - 0,1t}} = 12 - 20{e^{ - 0,1t}}$.

$d'(t) = 0 \Leftrightarrow 12 - 20{e^{ - 0,1t}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - 0,1t}} = 0,6 \Leftrightarrow t = \frac{{\ln 0,6}}{{ - 0,1}} \approx 5,11$.

Vậy hai VĐV gần nhau nhất ở thời điểm 5,11 giây kể từ thời điểm 0 giây.

d) Đúng. Thời điểm hai VĐV gần nhau nhất, khoảng cách giữa họ là:

$d(t) = \int\limits_0^{5,11} {\left( {12 - 20{e^{ - 0,1t}}} \right)dt} + 40 \approx 21,3$ (m).

Vậy VĐV điền kinh sẽ không bắt kịp được VĐV đua xe đạp và khoảng cách ngắn nhất giữa họ là 21,3 m.