Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{4} - 4x^{2} + 3$ trên đoạn [0; 4] là

Phương pháp giải:

Cho hàm số y = f(x).

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính đạo f’(x). Tìm các giá trị $x_{1},x_{2},...,x_{n} \in \lbrack a;b\rbrack$ sao cho f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại.

Bước 3: Tính $f(a),f\left( x_{1} \right),f\left( x_{2} \right),...,f\left( x_{n} \right),f(b)$. Giá trị lớn nhất trong các giá trị vừa tìm là $\max\limits_{\lbrack a;b\rbrack}f(x)$, giá trị nhỏ nhất trong các giá trị vừa tìm là $\min\limits_{\lbrack a;b\rbrack}f(x)$.

Lời giải chi tiết:

Hàm số $y = f(x) = x^{4} - 4x^{2} + 3$ xác định trên đoạn [0; 4].

Đạo hàm: $y' = 4x^{3} - 8x = 4x(x^{2} - 2)$.

$\left. y' = 0\Leftrightarrow 4x(x^{2} - 2) = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 0 \notin (0;4)} \\ {x = \sqrt{2} \in (0;4)} \\ {x = - \sqrt{2} \notin (0;4)} \end{array} \right. \right.$.

Ta có: $f(0) = 3;f(\sqrt{2}) = - 1;f(4) = 195$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{4} - 4x^{2} + 3$ trên đoạn [0; 4] là -1.